Многогранники и тела вращения вокруг нас. Тест по геометрии "многогранники и тела вращения". Призма основаниями которой служат параллелограммы

Многогранником называется тело, ограниченное со всех сторон плоскостями. Элементы многогранника: грани, рёбра, вершины. Совокупность всех рёбер многогранника называется его сеткой. Многогранник называется выпуклым, если весь он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; при этом его грани являются выпуклыми многоугольниками. Для выпуклых многогранников Леонардом Эйлером предложена формула:

Г+В-Р=2, где Г-число граней; В – число вершин; Р – число рёбер.

Среди множества выпуклых многогранников наибольший интерес представляют правильные многогранники (тела Платона), пирамиды и призмы. Многогранник называется правильным, если все его грани являются равными правильными многоугольниками. К ним относятся (рис. 26): а - тетраэдр; б - гексаэдр (куб); в - октаэдр; г - додекаэдр; д - икосаэдр.

а) б) в) г) д)

Рис. 26

Параметры правильных многогранников (рис. 26)

Из таблицы видно, что число граней и вершин у куба и октаэдра соответственно составляет 6, 8 и 8, 6. Это позволяет вписывать (описывать) их в друг друга до бесконечности (рис. 27).

Большую группу составляют, так называемые, полуправильные многогранники (тела Архимеда). Это выпуклые многогранники, у которых грани являются правильными многоугольниками разных типов. Тела Архимеда это усечённые тела Платона. Внешний вид некоторых из них представлены на рис. 28, а ниже их параметры в таблице.

а) б) в) г)

Рис. 27 Рис. 28

Параметры полуправильных многогранников (рис. 28)

Многогранник может занимать общее положение в пространстве, или же его элементы могут быть параллельными и (или) перпендикулярными к плоскостям проекций. Исходными данными для построения многогранника в первом случае служат координаты вершин, во втором ─ его размеры. Построение проекций многогранника сводится к построению проекций его сетки. Наружный очерк проекции многогранника называют контуром тела.

Призма

─ выпуклый многогранник, боковые рёбра которого параллельны между собой. Нижняя и верхняя грани ─ равные многоугольники, определяющие количество боковых рёбер, называются основаниями призмы. Призма называется правильной, если в основании правильный многоугольник, и прямой, если боковые рёбра перпендикулярны к основанию. В противном случае призма наклонная. Боковые грани прямой призмы прямоугольники, а наклонной ─ параллелограммы. Боковая поверхность прямой призмы относится к проецирующим объектам и вырождается в многоугольник на перпендикулярную боковым рёбрам плоскость проекций. Проекции точек и линий, расположенных на боковой поверхности призмы, совпадают с её вырожденной проекцией.

Типовая задача 3 (рис. 29): Построить комплексный чертёж прямой призмы с размерами: l- сторона основания (длина призмы); b- высота равнобедренного треугольника основания (ширина призмы); h- высота призмы. Определить положение рёбер и граней относительно плоскостей проекций. На гранях ABB’A’ и ACC’A’ задать фронтальные проекции соответственно точки M и прямой n и построить их недостающие проекции.

1. Мысленно располагаем многогранник в системе плоскостей проекций так, чтобы его основание D ABC║P 1 ;а ребро АС║P 3 (рис. 29, а).

2. Мысленно вводим базовые плоскости: S║P 1 и совпадающую с основанием (D ABC); D║P 2 и совпадающую с задней гранью АСС’А’. Строим базовые линии S 2 , S 3 , D 1 , D 3 (рис. 29, б).

3. Строим горизонтальную, затем фронтальную и, наконец, профильную проекции призмы, используя базовые линии D 1 , D 3 (рис. 29, в).

Рёбра: АВ, ВС ─ горизонтали; АС ─ профильно-проецирующая; AS, SC, SB ─ горизонтально-проецирующие. Грани: ABC A"B’C’ ─ горизонтальные уровня; ABВ’А’, BCС’В’ ─ горизонтально-проецирующие; ACC"А’ ─фронтальная уровня..

5. Построение горизонтальных проекций точек, лежащих на боковых гранях призмы, выполняем с использованием собирательного свойства проецирующего объекта: все проекции точек и линий, расположенных на боковой поверхности призмы, совпадают с её вырожденной (горизонтальной) проекцией. Профильные проекции точек (например М) строим откладывая по горизонтальным линиям связи их глубины (Y M) от D 3 , которые измеряются на горизонтальной проекции от D 1 (см. также с. 8, 17). На прямой n задаём точки 1, 2 и строим эти точки на поверхности призмы, аналогично точке М. Определяем видимость методом конкурирующих точек. Выполнение задания "Призма с вырезом" см. в .

а) б) в)

Рис. 29

Пирамида

многогранник, одной из граней которого является многоугольник (основание пирамиды), определяющий число боковых граней, а остальные грани (боковые) ─ треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми рёбрами. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания, называется высотой пирамиды. Пирамида правильная, если в основании правильный многоугольник и прямая, если вершина проецируется в центр основания. Боковые рёбра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой. Если вершина пирамиды проецируется вне её основания, - то пирамида наклонная.

Типовая задача 4 (рис. 30-32): Построить комплексный чертёж прямой правильной пирамиды с размерами: l- сторона основания (длина); b- высота треугольника основания (ширина); h- высота пирамиды. Определить положение рёбер и граней относительно плоскостей проекций. Задать фронтальную и горизонтальные проекции точек M и N принадлежащих соответственно граням ASB и ASC и построить их недостающие проекции.

1. Мысленно располагаем многогранник в системе плоскостей проекций так, чтобы его основание D ABC║P 1 ;а ребро АС║P 3 (рис. 31).

2. Мысленно вводим базовые плоскости: S║P 1 и совпадающую с основанием (D ABC);

D║P 2 и совпадающую с ребром АС. Строим базовые линии S 2 , S 3 , D 1 , D 3 (рис. 32) .

3. Строим горизонтальную, затем фронтальную и, наконец,

профильную проекции пирамиды (см. рис. 32).

4. Анализируем положение рёбер и граней на комплексном чертеже пирамиды, учитывая исходные данные и классификаторы положения прямых и плоскостей (с. 11,14).

Рёбра: АВ, ВС ─ горизонтали; АС ─ профильно-проецирующая; AS, SC ─ общего положения; SB ─ профильная уровня. Грани: ASB, BSC ─ общего положения; ABC ─горизонтальная уровня; ASC ─ профильно-проецирующая.

5. Построение недостающих проекций точек, лежащих на гранях пирамиды, выполняем с использованием признака «принадлежности точек плоскости». В качестве вспомогательных прямых используем горизонтали или произвольные прямые. Профильные проекции точек строим откладывая по горизонтальным линиям связи глубины точек (в направлении оси Y), которые измеряются на горизонтальной проекции (см с. 8, 17).

Рис. 30 Рис. 31 Рис. 32

МКОУ «3наменская средняя общеобразовательная школа» Щигровского р-на Курской области

Урок - экскурсия

«Многогранники. Тела вращения»

(урок геометрии в 11 классе)

Подготовила: учитель математики Букреева Т. А.

ТЕМА УРОКА: Повторение по теме «Многогранники. Тела вращения».

Цель урока: 1. Повторить изученное.и обобщить знания учащихся.

2. Развитие познавательного интереса учащихся к предмету, расширение кругозора, межпредметных связей.

З. Воспитание познавательной активности учащихся.

План урока:

1. Вступительное слово учителя.

2. Экскурсия «Мир многогранников».

З. Экспериментальные опыты.

4. Практическая работа.

5. Решение задач.

7. Итог урока.

Оборудование: Модели многогранников, тел вращения, картина художника Шишкина «Корабельная роща», картина Сальвадора Дали «Тайная вечерня», таблицы с формулами, рисунки с изображениями многогранников, портреты ученых, сосуды с водой для проведения опытов, измерительные сосуды, компьютер, проектор.

Ход урока:

1 . Вступительное слово учителя

Ребята, сегодня мы проводим очередной урок повторения курса геометрии, который пройдет в необычной форме. Тема урока повторения «Многогранники. Тела вращения» Мы уже повторяли с вами основные понятия, касающиеся данной темы, решали задачи на применение различных формул. Но я думаю, что на сегодняшнем уроке вы узнаете еще немало интересных фактов, (рассказать план урока). А сейчас давайте немного вспомним.

Что называется многогранником?

Приведите примеры многогранников?

Что называется телом вращения?

Приведите примеры тел вращения.

Что является основными элементами любого многогранника? (вершины, ребра, грани).

Каким общим характерным свойством обладают все выпуклые многогранники?

(Сумма числа вершин и числа граней каждого многогранника на два больше числа его ребер, т.е. В+Г – Р = 2). Это предложение известно, как «теорема Эйлера».

Ребята, а сейчас я предлагаю вам совершить небольшую экскурсию в «Мир многогранников и тел вращения». А помогут нам в этом группа экскурсоводов. Пожалуйста, ребята. Вам слово.

"ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА" о многогранниках

В+Г-Р=2

2. Экскурсия.

1 экскурсовод . Всем хорошо известны такие тела как пирамида, конус, призма, цилиндр, шар и другие. А задумывались ли вы над тем, откуда произошло название этих фигур. Посмотрите, пожалуйста, на картину известного художника Шишкина «Корабельная роща», на которой изображены сосны. А сейчас обратите внимание на следующий рисунок (слайд №2). Здесь вы видите изображение конуса. А в руках у меня модель конуса. Вы скажите, а какая же связь между этой картиной и данным телом. Оказывается, самая непосредственная. На картине изображены сосны, а модель, которую я держу, называется конус, что в переводе с греческого языка означает «сосновая шишка». И, действительно, посмотрите, конус похож на шишку. эту «шишку» по-гречески называют «конос». Поэтому и тела такой формы получили название конуса.

А вообще, до Фалеса в Греции геометрией никто не занимался, поэтому у геометрических фигур не было названий. Греки стали называть фигуры словами, обозначавшими окружающие их предметы похожей формы. Например, для прокатки белья женщины применяли скалку, которую по-гречески называли «каландер», что в переводе означает «цилиндр». Поэтому все вытянутые тела с округлым сечением получили название цилиндра. Тело, изображенное на следующем рисунке, напоминает нам египетские пирамиды, поэтому такие тела и назвали пирамидами.

При этом в Египте основания пирамид были четырехугольные, а греки изучали и четырехугольные, и даже шестиугольные пирамиды.

А откуда получила свое имя «сфера?». По-гречески так называли мяч, в который играли дети (слайд №3).

2 экскурсовод. А сейчас обратите внимание на следующую группу многогранников (слайд №4): тетраэдр, куб, икосаэдр, октаэдр, додекаэдр. Как вы знаете, это правильные многогранники, которые также были известны ещё в Древней Греции и им посвящена 13 книга знаменитых «Начал» Евклида.

Учение о правильных многогранниках является венцом его «Начал». Сна­чала Евклид устанавливает существование этих многогранников, а затем до­казывает. В 18 последнем предложении 13 книги, что кроме упомянутых пяти тел, кет других правильных многогранников.

Но, оказывается, правильными многогранниками занимался и Архимед (слайд №5), однако его работы до нас не дошли. Архимеду принадлежит открытие 13 так называемых полуправильных многогранников, (архимедовых тел), каждый из которых ограничен не одноименными правильными многоугольниками и в котором равны многогранные углы и одноименные многоугольники, причем в каждой вершине сходится одно и тоже число одинаковых граней в одинаковом порядке. Число граней этих тел содержится между 8 и 92.

Древние греки специально изучали правильные многогранники, так как считали что формы этих тел присущи элементам первооснов бытия (слайд №6): а именно, огню – тетраэдр, земле – гексаэдр (куб), воздуху – октаэдр, воде – икосаэдр или говорили еще так; что эти четыре многогранника олицетворяли четыре стихии: огонь, землю, воду и воздух, А форму пятого многогранника, по мнению древних, имела вся Вселенная, то есть додекаэдр символизировал все мироздание.

И не зря, на репродукции картины Сальвадора Даля «Тайная вечерня» Христос со своими учениками изображены сидящими на фоне огромного прозрачного додекаэдра (слайд№7).

Заметили и то, что многие формы многогранников придумал не сам человек, их создала природа в виде кристаллов. Кристаллы – природные многогранники. Например, горный хрусталь или кварц. Напоминает отточенный с двух сторон карандаш, т.е форму шестиугольной призмы, на основание которой поставлены шестиугольные пирамиды. Исландский шпат – имеет форму косого параллелепипеда.

Пирит (или сернистый колчедан) чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда куба или даже усеченного октаэдра.

В начале прошлого столетия французский математик и механик Л. Пуансо (1777-1859) (слайд №8), геометрические работы которого относятся к «звездчатым многогранникам» открыл существование правильных невыпуклых многогранников. Стали известны 4 типа таких фигур. В 1812г. О. Коши доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует (слайд №9).

3 экскурсовод . А сейчас поговорим о формулах и об ученных, благодаря которым они появились. Мы изучили множество формул для вычисления объемов многогранников и круговых тел, для вычисления площадей их поверхностей. Но задумывались ли вы когда-нибудь над таким вопросом, а как давно появились эти формулы и кто первым их открыл? Оказывается, еще давно до нашей эры формулы объемов многих тел (параллелепипеда, призмы, цилиндра) были известны.

Позднее, благодаря трудам древнегреческих ученых Демокрита, Евдокса и Архимеда были открыты формулы для вычисления объемов пирамид, конуса, шара и других тел. Невозможно рассказать о вкладах каждого ученого, но нельзя не остановиться на одном из них – ученом и изобретателе Архимеде, который решил множество практических задач по математике и физике. За всю свою жизнь Архимед сделал так много, что обо всем не расскажешь. Он впервые решил много трудных задач по геометрии: нашел правила вычисления площадей и объемов различных тел. Среди всех задач была и такая «Найти отношение объёма шара, вставленного (вписанного) в цилиндр, к объему цилиндра».

Архимед определил, что объем вписанного цилиндра равен 2/3 объема цилиндра, а поверхность шара равна 2/3 поверхности цилиндра. Этому предложению Архимед придавал исключительное значение. Предание гласит, что Архимед высказал своим друзьям пожелание, чтобы после его смерти на его могильном холме вырезали чертеж к этой задаче, И еще об одном интересном факте я хочу рассказать. Архимед жил в небольшом городе Сиракузы, на острове Сицилия. Когда ему было около 70-ти лет, в 212 году до начала нашего летосчисления, его родной город осадили войска могущественного Рима и потребовали сдачи. Сиракузцы решили защищаться. Одним из руководителей обороны стал Архимед, под чьим руководством Сиракузцы почти год отбивались от многочисленных римских войск. Пользуясь своими знаниями о геометрии, Архимед, как говорят предания, построил громадные зеркала и с их помощью сжег римские корабли, а римские воины, увидев из-за крепостной стены веревку или бревно, с ужасом обращались в бегство с криком, что вот Архимед ещё выдумал новую машину на их погибель. Но римляне все - таки ворвались в город и перебили почти всех жителей. Среди погибших был Архимед. Предания говорят, что когда римский солдат уже замахнулся на Архимеда мечом, ученый крикнул «Не трогай мои чертежи». Желание Архимеда сбылось. На надгробном камне могилы Архимеда в Сиракузах изображен цилиндр с вписанным в него шаром (слайд №10). Именно по этому чертежу 200 лет спустя нашли могилу ученого. Это символ открытия формул объема шара и площади сферы. Памяти Архимеда посвящено множество стихотворений. Послушайте одно из них. (Стихотворение).

ПАМЯТИ АРХИМЕДА

Далеко от нашего Союза

И до нас за очень много лет

В трудный год родные Сиракузы

Защищал ученый Архимед.

Многие орудья обороны

Были сконструированы им,

Долго бился город непреклонный,

Мудростью ученого храним.

Но законы воинского счастья

До сих пор никем не учтены,

И втекают вражеские части

В темные пробоины стены.

Замыслом неведомым охвачен,

Он не знал, что в городе враги,

И в раздумье на земле горячей

Выводил какие-то круги.

Он чертил задумчивый, не гордый,

Позабыв текущие дела, ­

И внезапно непонятной хордой

Тень копья чертеж пересекла.

Но убийц спокойствием пугая,

Он, не унижаясь, не дрожа,

Руку протянул, оберегая

Не себя, а знаки чертежа.

Он в глаза солдатом глянул смело:

«Убивайте, римляне - враги!

Убивайте, раз такое дело,

Но не наступайте на круги!

Я хотел бы так пером трудиться,

Родине, отдав себя вполне,

Чтоб на поле боя иль в больнице

За себя не страшно было мне.

Чтобы у меня хватило духа

Вымолвить погибели своей:

«Лично - убивай меня, старуха,

Но на строчки наступать не смей!»

3. Эксперементальные опыты

Учитель: Ребята, я думаю, мы совершили благодаря экскурсоводам, интересную историю в далекое прошлое. Если кого-то заинтересовала биография Архимеда, более подробно вы сможете прочитать на страницах стенгазеты «Математика и жизнь» обратиться к литературе, которая имеется в библиотеке. (Выставка).

А сейчас давайте с вами посетим лабораторию, где группа исследователей занималась экспериментальным доказательством некоторых формул, связанных с многогранниками и телами вращения. Пожалуйста, ребята, вам слово.

1 ученик. В результате проделанной нами исследовательской pa6oты, мы смогли с помощью опытов доказать справедливость некоторых формул. Сейчас мы вам продемонстрируем это.

Опыт №1. (объем пирамиды)

С помощью этого опыта убедимся в том, что объем пирамиды равен 1/3 объема призмы. Для этого возьмем два сосуда: один – имеющий форму призмы, другой – пирамиды. Пирамида и призма имеют равные высоты (h) проведенные к основанию, и равные площади оснований. Сосуд – пирамиду наполнили водой, затем перельем воду из сосуда – пирамиды в сосуд – призму. Видим, что емкость сосуда – пирамиды в три раза меньше емкости сосуда-призмы, т. е V пир = 1/3V пр.

Итак, убедились, что объем пирамиды равен 1/3 объема призмы.

Опыт №2 . (Свойство пирамид, имеющих равновеликие основания и равные высоты)

Мы знаем такое утверждение, что две (треугольные) пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики, т.е. имеют равные объемы.

Убедимся в этом с помощью следующего опыта.

Опыт.

В сосуд, имеющий узкую отводную трубку, нальем воды так, чтобы избыток её вытек через отверстие. Подставив под отверстие измерительный стакан, в сосуд погружаем одну из пирамид. Узнав при помощи измерительного стакана, объем воды, вытесненной пирамидой, одновременно узнаем и объем самой пирамиды. Проделав опыт с другой пирамидой, видим, что если пирамиды имеют равновеликие основания и равные высоты, то их объемы равны.

1 пирамида – четырехугольная, в основании которой квадрат со стороной 4 см, т.е. площадь основания равна 16 см.

2 пирамида – четырехугольная, в основании прямоугольник со сторонами 2 и 8 см.

(объем тела, погруженного в жидкость, равен объему вытесненной телом жидкости).

Опыт №3 . (площадь поверхности сферы)

Невозможно найти площадь поверхности сферы таким же образом, как находят площадь поверхности многогранника, т.е. с помощью её развертки в плоскость, поскольку никакую сферу нельзя развернуть в плоскость. Но можно использовать следующий опыт.

Возьмем модель полу-шара и закрепим в него два гвоздя: один в центре большого круга, другой - в вершине полу-шара. Прикрепим конец нити к гвоздику, находящемуся в вершине полу-шара и покроем нитью поверхность полу-шара, складывая её спиралью. Затем также покроем основание полу-шара – большой круг. Измерив длины использованных нитей, видим, что длина нити, затраченной на покрытии основания, т. е круга радиусом, приблизительно в 2 раза меньше длины нити, покрывающей поверхности полу-шара.

Отсюда вывод: площадь поверхности полу-шара равна 2, а площадь по­верхности шара 4. Итак, площадь сферы вычисляется по формуле S = 4πR 2 .

Учитель: Описанный опыт – один из древнейших. С его помощью люди узнали, что площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его большого круга.

Вывод: Опытное обоснование теоретических фактов рассматривается как средство осуществления связи преподавания геометрии с практикой.

4. Практическая работа.

А сейчас я вам предлагаю небольшую практическую работу.

Задание. У вас на столах находятся различные геометрические тела. Выберите себе любую фигуру, выполните необходимые измерения и вычислите объем данного тела, используя соответствующую формулу. (Рассказать, как вычисляли объем).

5.Решение задач из занимательной геометрии.

Задачи вам предложит следующая группа ребят. (слайд №11)

Задача №1

Две правильные призмы поспорили о том,

В какой из них побольше содержится объем.

Одна сказала: «Если все факторы учесть,-

Ведь я в два раза выше и граней целых шесть,-

То нечего и спорить, победа тут за мной...»

Другая отвечала: «Не торопись, постой!

Хоть граней пять имею и ростом не крупна,

Но в основание больше в 2 раза сторона».

До вечера поспорив, ни с чем домой ушли.

Кто прав был в этом споре А ну, определи?

(Решение задачи №1)

Вывод: Чтобы сравнить, нужно найти объемы.

Задача №2

Футбольный мяч напоминает многогранник с 32 гранями, 20 из которых – правильные шестиугольники, а 12 – правильные пятиугольники. Сколько вершин у такого многогранника? (слайд №12)

Решение. В задаче речь идет об усеченном икосаэдре. Найдем общее число ребер этого многогранника. Так как он имеет 12 пятиугольных граней, то 5 12+620=180, т. е 2Р = 180, Р = 90. А по условию Г = 32, то по теореме Эйлера

В+Г - Р =2, т.е. В = Р - Г +2 = 90 - 32 +2=60

Теорема Эйлера : Сумма числа вершин и числа граней многогранника на 2 больше числа его ребер, т.е. В + Г - Р = 2

Утверждение: Число сторон всех граней равно удвоенному числу ребер,

т. к. каждое ребро принадлежит сразу двум граням, следовательно, при подсчете учитывается дважды. (слайд №13)

Задача №3

Имеется куча зерна пшеницы, которую нужно отправить на склад. Оцените объем зерна в куче. Как это сделать? (слайд №14)

Решение. По своей форме куча зерна заметно отличается от известных про­странственных фигур, но отдаленно она напоминает круговой конус.

Объем конуса V = 1/3·S·h. Даже приняв, что куча зерна имеет форму конуса, нам сложно непосредственно измерить R и Н. Можно считать, что основанием конуса - модели служит круг, окружность которого имеет такую же длину, как периметр основания кучи. Эту длину можно измерить непосредственно шнуром. Если она равна С, то R=C/2π. Высоту Н тоже неудобно замерить непосредственно, но легко с помощью шнура найти « перекидку». Р = А·В, тогда

Задача №4

А сейчас предлагаю вам послушать одну из тех немногих легенд, в которых при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такого рода затею, о которой я сейчас расскажу, он был бы обескуражен лицемерию результата. (слайд №15)

Итак, в поэме АС Пушкина «Скупой рыцарь» рассказана легенда восточных народов.

Читал я где-то,

Что царь однажды воинам своим

Велел снести земли по горсти в кучу,-

И гордый холм возвысился.

И царь мог с высоты с весельем озирать.

И дол, покрытый белыми шатрами,

И море, где бежали корабли.

Какой высоты мог быть такой холм? Ответив на этот вопрос, вы убедитесь в мизерности результата.

Решение. 1 горсть = 1/5л = 0,2 дм 3

Пусть войско из 100000 человек. Угол может быть только 45°(и меньше) иначе земля будет осыпаться. Нужно обладать богатым воображением, чтобы земляную кучу в полтора человеческих роста назвать гордым холмом.

6 Тест.

Учащиеся получают индивидуальные пакеты с тестами, которые начинают выполнять в классе, дома заканчивают.

7 Итог урока.

МОДЕЛЬ ОФОРМЛЕНИЯ СЦЕНАРИЯ ТВОРЧЕСКОГО УРОКА

Общие требования:

Полное название образовательного учреждения: Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 90», Томская область, город Северск

Предмет: геометрия

Тема: Многогранники и тела вращения.

Класс: 11

Время реализации занятия: 2 урока (90 мин.)

Цель урока: повторение изучаемого материала.

Задачи урока:

Образовательные: контроль за уровнем усвоения материала.

Развивающие: формирование навыков продуктивного делового взаимодействия и принятия групповых решений.

Воспитательные: воспитание ответственности, коллективизма, уважительное отношение к мнению партнёра.

Тип урока: обобщающий урок

Форма урока:

• Урок – аукцион ;

Оборудование: переносная доска, карточки с вопросами, игровые денежки.

План проведения урока:

Ход урока:

Урок – аукцион является одной из форм проверки знаний, умений учащихся по данной большой теме.

Правила игры.

Класс делится на три команды, выбирается жюри. Все команды перед началом аукциона получают в «банке» (роль банкира играет один из членов жюри или учитель) первоначальный капитал в виде краткосрочного кредита под 30% годовых в размере 1000 денежек (или других денежных знаков) Приложение №1.

Это означает, что в конце игры все взявшие кредит должны вернуть в банк 1300д. (1000д. – сам кредит и 300д. составляют 30% от суммы кредита);

Расписываясь в банковской книге «Выдачи кредитом» за его получение, капитан команды одновременно с деньгами получает номер участника аукциона и лицевой счёт команды Приложение №2 . Только имёя номер, команда может претендовать на тот или иной лот (вопрос, правильный ответ на который приносит команде определенный доход, выставленный на аукционе).

Игра состоит из двух или более туров.

Перед проведением очередного тура аукционист (ведущий аукцион преподаватель) объявляет характер предлагаемых лотов и порядок проведения торгов.

Первый Тур « Конкретный вопрос».

Тур проходит по следующим правилам:

• задается конкретный вопрос по теме «Многогранники, тела вращения»;
• право на ответ может купить любая команда, имеющая номер, заплатив небольшую сумму в ходе открытых торгов;
• первоначальная стартовая цена каждого лота (права на ответ) 100д., а торговый (аукционный) шаг стоит 50д., т. е. торг ведется суммами, кратными 50д. Например, одна из команд называет свою цену за конкретный вопрос, предложенный аукционистом, - 150д. Если какая- то другая команда также хочет приобрести этот лот (право на ответ), то она называет цену – 200д. (250д. 300д. и т. д.), т. е. каждый раз цена увеличивается на 50д. (или сразу на 100д., или на 200д. и т. п.);
• называя свою цену, капитан команды должен поднять и показать аукционисту номер, который он получил перед началом аукциона;
• команда, купившая очередной лот, платит в банк сумму, за которую она купила этот выставленный лот;
• за правильный ответ на купленный вопрос команда получает денежное вознаграждение от 500 до 1500д., в зависимости от сложности вопроса;
• если участники команды неверно ответили на вопрос, они платят в банк штраф в размере 200д., и лот снимается с торгов и может быть выставлен в конце первого тура для повторной продажи.

Аукционист отвечает на вопросы участников, и открываются торги.

1.1 Чему равен угол между плоскостью основания прямого цилиндра и плоскостью, проходящей через образующую цилиндра? Стартовая цена 100д. Вознаграждение 500д. Кто дает большую цену?

1.2 Равны ли друг другу углы между образующими конуса и плоскостью основания? Стартовая цена 100д. Вознаграждение 500д.

[Равны, т.к. осевое сечение

конуса равнобедренный треугольник]

1.3 Космонавт сообщил на базу, что обнаружил странный космический объект. Это геометрически правильное твердое тело, которое выглядит одинаково, какой бы гранью ни повернулось. Так было до тех пор, пока космонавт до него не дотронулся. После чего три грани космического тела пульсируют красными огнями, три - голубями, остальные шесть - зелеными. Ученые на базе до сих по пытаются определить, что это за огни: Однако теперь они знают форму всех граней космического объекта. А вы знаете? Вознаграждение 1500д.

[Не важно, какого цвета огни, - красного, зеленого или голубого.

Объект представляет собой геометрическое тело с 12-ю гранями.

Значит, оно может быть только декаэдром (двенадцатигранником). Каждая его грань представляет собой правильный пятиугольник.]

Могут ли вершины прямоугольного треугольника с катетами 4см и см лежать на сфере радиуса см? Вознаграждение 1000д.

[Нет]

1.4 Круглое бревно весит 30кг. Сколько весит бревно, которое вдвое толще, но вдвое короче? Вознаграждение 1500д.

[От увеличения вдвое объем круглого бревна увеличивается

вчетверо; от укорочения же вдвое объем бревна уменьшается

всег о в два раза. Поэтому толстое короткое бревно должно

быть вдвое тяжелее длинного тонкого, т. е; весит 60 кг.]

1.5 Какая из двух банок, изображенных на рис. 1, вместительнее - широкая, или втрое более высокая, но вдвое более узкая? Вознаграждение 1500 р.

[Высокая банка менее вместительна. Это легко проверить. Площадь основания широкой банки в 2 2, т. е. в четыре раза больше, чем узкой; высота же ее всего в три раза меньше. Значит, объем широкой банки в раза больше, чем узкой. Если содержимое высокой банки перелить в широкую, заполнится лишь ее объема.]

1.6 Чему равны углы между отрезками, проведенными на гранях куба (рис. 2)? Вознаграждение 1000д.

[ 60° (рис. 3 , а); 120°, (рис. 3, б).]

1.7 Двое заспорили о содержимом бочки. Один спорщик говорил, что воды в бочке более, чем наполовину, а другой утверждал, что менее.

Как убедиться, кто прав, не употребляя ни палки, ни веревки, ни вообще какого-либо приспособления для измерения? Вознаграждение 1500д.

[Если бы вода в бочке была налита ровно до половины, то, наклонив бочку так, чтобы уровень воды пришелся как раз у края бочки, мы увидели бы, что высшая точка два находится также на уровне воды. Это ясно из того, что плоскость, проведенная через диаметрально противоположные точки верхней и нижней окружности бочки, делит, ее на две равные части. Если вода налита менее чем до половины, то при таком же наклоне бочки должен выступать из воды больший или меньший сегмент два. Наконец, если воды в бочке более половины, то при наклоне верхняя часть дна окажется под водой.]

1.8 Как найти вместимость объем стакана с помощью весов? Вознаграждение 1000д.

[Пусть масса стакана с водой а без воды ,

тогда где - плотность; для воды .]

1.9 «Сюрприз». Команда, купившая этот лот, получает карточку, в которой написано: «Вы имеете право на приобретение по первоначальной стартовой цене одного из лотов второго тура аукциона или получить в банке премию в размере 500д.».

1.10 Вычислите приближенно объем мяча, если в вашем распоряжении нитка и измерительная линейка. Вознаграждение 1500д.

[Пусть D - диаметр мяча, l - длина наибольшей

Окружности на поверхности мяча, найденная

с помощью нитки и линейки, тогда

1.11 С помощью мензурки определите радиус вмещающегося в нее шара. Вознаграждение 1500д.

[С помощью мензурки находим V - объем шара, а его

радиус вычисляем по формуле .]

1.12 Для тренировки смекалки представьте себе такое вынужденное положение: необходимо, пользуясь только масштабной линейкой, определить объем бутылки (с круглым, квадратным или прямоугольным дном), которая частично наполнена жидкостью. Дно бутылки предполагается плоским. Выливать или доливать жидкость не разрешается. Вознаграждение 1500д.

[Так как дно бутылки по условию имеет форму круга или квадрата, или прямоугольника, то его площадь легко можно определить при помощи одной только масштабной линейки. Обозначим площадь дна через S. Измерим высоту h 1 , жидкости в бутылке. Тогда объем той части бутылки, которую занимает жидкость, равен Sh 1 , (рис.б). Опрокидываем бутылку вверх дном и измеряем высоту h 2 , ее части от уровня жидкости до дна бутылки. Объем этой части бутылки равен Sh 2 . Остальную часть бутылки занимает жидкость, объем которой уже определен - он равен Sh 1 . Отсюда следует, что объем всей бутылки равен ]

Третий тур. Закрытый лот «Неизвестный вопрос».

В этом туре команды покупают закрытый лот, не зная, какой вопрос будет в этом лоте. В остальном правила проведения аукциона остаются прежними, лишь цена за правильный ответ на купленный в лоте вопрос увеличивается и составляет от 1500д. до 3000д. в зависимости от сложности вопроса. Вопрос формулируется лишь после того, как какая-либо команда купит лот.

«Неизвестные вопросы»:

1. Стартовая цена 100д., аукционный шаг 50д. Вопрос. Сформулируйте определение цилиндра.

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Задание. Сформулируйте определение конуса.

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Первоначальная стартовая цена 100д. Вопрос. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей?

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. На какие многогранники рассёкает треугольную призму плоскость, проходящая через вершину верхнего основания и противоположную ей сторону нижнего основания? [На две пирамиды: треугольную и четырехугольную (рис. 5).

1. «Сюрприз». Команда, купившая этот лот получает карточку, в которой написано: «Вы совершили удачную сделку, ваши наличные деньги увеличиваются на 50% ».

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. В результате вращения какой фигуры может быть получен усеченный конус?

1. Задание. Сформулируйте определение призмы.

1. Задание. Перечислите свойства сечения пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 3000д. Вопрос. Назовите все виды призм. В чем состоят их различия?

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 2500д. Задание. Сформулируйте определения пирамиды и усеченной пирамиды.

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ? Вопрос. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину?

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. Из каких тел состоит тело , полученное вращением равнобедренной трапецией вокруг большего основания? [Полученное тело состоит из двух равных конусов и цилиндра].

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. Существует ли четырёхугольная пирамида, две противоположные грани которой перпендикулярны основанию пирамиды?

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 2000д. Вопрос. Сформулируйте определение шара, и сферы.

В конце игры аукционист просит всех участников подсчитать сумму наличных денег, вернуть взятый в банке кредит и 30 % годовых за пользование им (т. е. 1300д.). Победителем игры считается команда, у которой на руках осталось больше всего денег.

Все учащиеся выигравшей команды получают отличные оценки; отличные оценки выставляются также наиболее активным учащимся других команд, всем остальным учащимся оценка не выставляется.

Примечания.

Вопросы, сформулированные для двух туров аукциона можно заменить на более сложные и требующими развернутых ответов, или более простыми и доступными.

Количество вопросов в каждом туре можно увеличить или уменьшить в зависимости от времени, которым располагает учитель или от интереса учеников.

Игру-аукцион можно использовать также при изучении практически любого учебного предмета. Для этого нужно лишь продумать четкие и конкретные вопросы по уже пройденному материалу и распределить их по двум турам аукциона.

Дополнения.

Все команды, участвующие в аукционе, заводят свои лицевые счета. Приложение №2.

В графе «Приход» команды фиксируют все денежные поступления, в графе «Расход» указывают все выплаты, а в графе «Остаток» - оставшиеся на данный момент денежные средства.

Первая запись, которую делает в лицевом счёте каждая команда: в графе «Приход» фиксируется полученный в банке кредит (1000д.)

Например, члены команды №1 купили в первом туре вопрос 2, указав наибольшую сумму 350д. Значит, сразу же после покупки капитан команды (или какой-либо ее участник) в лицевом счете своей команды делает запись и вычисляет остаток денежных средств:

Если команда №1 правильно ответила На купленный вопрос, то она получает денежное вознаграждение 500д. (в соответствии с правилами первого тура аукциона) и делает третью запись в графе «Приход»:

Такие же лицевые счета находятся у члена жюри (счет той команды, работу которой он оценивает).

Таким образом, ведя постоянный учет, команда в любой момент игры видит реальный остаток своих денежных средств. Это удобно и для преподавателя, если возникает необходимости проверить кредитоспособность команды.

Если у какой-либо команды закончились денежные средства, капитан может с разрешения преподавателя получить в банке дополнительный кредит (не более 1000д.), но уже под 50 % годовых.

Список использованной литературы:

1. Кордемский Б А. Удивительный мир чисел. - М., Просвещение, 1986.
   

   Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

   Сбор и использование персональной информации

   Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

   От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

   Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

   Какую персональную информацию мы собираем:

   • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

   Как мы используем вашу персональную информацию:

   • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
   • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
   • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
   • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

   Раскрытие информации третьим лицам

   Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

   Исключения:

   • В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
   • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

   Защита персональной информации

   Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

   Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

   Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

   Разделы: Технология

   Цели урока:

   • закрепить знания о геометрических телах, умения и навыки по построению чертежей многогранников;
   • развивать пространственные представления и пространственное мышление;
   • формировать графическую культуру.

   Тип урока: комбинированный.

   Оснащение урока: интерактивная доска MIMIO, мультимедийный проектор, компьютеры, проект mimo для интерактивной доски, мультимедийная презентация, программа «Компас-3D LT».

   ХОД УРОКА

   I. Организационный момент

   1. Приветствие;

   2. Проверка явки учащихся;

   3. Проверка готовности к уроку;

   4. Заполнение классного журнала (и электронного)

   II. Повторение раннее изученного материала

   На интерактивной доске открыт проект mimo

   Лист 1. На уроках математики вы изучали геометрические тела. Несколько тел вы видите на экране. Давайте вспомним их названия. Учащиеся дают названия геометрическим телам, если есть затруднения – помогаю. (Рис. 1).

   1 – четырехугольная призма
   2 – усеченный конус
   3 – треугольная призма
   4 – цилиндр
   5 – шестиугольная призма
   6 – конус
   7 – куб
   8 – усеченная шестиугольная пирамида

   Лист 4 . Задание 2. Даны геометрические тела и названия геометрических тел. Вызываем ученика к доске и вместе с ним перетаскиваем многогранники и тела вращения под названия, а затем перетаскиваем названия геометрических тел (рис. 2).

   

   Делаем вывод, что все тела делятся на многогранники и тела вращения.

   Включаем презентацию «Геометрические тела» (Приложение ). Презентация содержит 17 слайдов. Можно использовать презентацию на нескольких уроках, она содержит дополнительный материал (слайды 14-17). Со слайда 8 есть гиперссылка на Презентацию 2 (развертки куба). Презентация 2 содержит 1 слайд, на котором изображены 11 разверток куба (они являются ссылками на видеоролики). На уроке использована интерактивная доска MIMIO, а также учащиеся работают на компьютерах (выполнение практической работы).

   Слайд 2. Все геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения. Многогранники: призма и пирамида. Тела вращения: цилиндр, конус, шар, тор. Схему учащиеся перечерчивают в рабочую тетрадь.

   III. Объяснение нового материала

   Слайд 3. Рассмотрим пирамиду. Записываем определение пирамиды. Вершина пирамиды – общая вершина всех граней, обозначается буквой S. Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды (Рис. 3).

   

   Слайд 4. Правильная пирамида. Если основание пирамиды - правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания, то - пирамида правильная.
   В правильной пирамиде все боковые ребра равны, все боковые грани равные равнобедренные треугольники.
   Высота треугольника боковой грани правильной пирамиды называется - апофема правильной пирамиды .

   Слайд 5. Анимация построения правильной шестиугольной пирамиды с обозначением ее основных элементов (Рис. 4).

   

   Слайд 6 . Записываем в тетрадь определение призмы. Призма – многогранник, у которого два основания (равные, параллельно расположенные многоугольники), а боковые грани параллелограммы. Призма может быть четырехугольной, пятиугольной, шестиугольной и т.д. Призма называется по фигуре, лежащей в основании. Анимация построения правильной шестиугольной призмы с обозначением ее основных элементов (Рис. 5).

   

   Слайд 7. Правильная призма – это прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. Параллелепипед – правильная четырехугольная призма (Рис. 6).

   

   Слайд 8. Куб – параллелепипед, все грани которого квадраты (Рис. 7).

   

   (Дополнительный материал: на слайде есть гиперссылка на презентацию с развертками куба, всего 11 разных разверток).
   Слайд 9. Записываем определение цилиндра.Тело вращения – цилиндр, образованное вращением прямоугольника вокруг оси, проходящей через одну из его сторон. Анимация получения цилиндра (Рис. 8).

   

   Слайд 10. Конус – тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг оси, проходящей через один из его катетов (Рис.9).

   

   Слайд 11. Усеченный конус – тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции вокруг оси, проходящей через ее высоту (Рис. 10).

   

   Слайд 12. Шар – тело вращения, образованное вращением круга вокруг оси, проходящей через его диаметр (Рис. 11).

   

   Слайд 13. Тор – тело вращения, образованное вращением круга вокруг оси, параллельной диаметру круга (Рис. 12).

   

   Учащиеся записывают определения геометрических тел в тетрадь.

   IV. Практическая работа«Построение чертежа правильной призмы»

   Переключаемся на проект mimio

   Лист 7 . Дана треугольная правильная призма. В основании лежит правильный треугольник. Высота призмы = 70 мм, а сторона основания = 40 мм. Рассматриваем призму (направление главного вида показано стрелкой), определяем плоские фигуры, который мы увидим на виде спереди, сверху и слева. Вытаскиваем изображения видов и расставляем на поле чертежа (Рис. 13).

   

   Учащиеся самостоятельно выполняют чертеж правильной шестиугольной призмы в программе «Компас – 3D». Размеры призмы: высота – 60 мм, диаметр описанной окружности вокруг основания – 50 мм.
   Построение чертежа с вида сверху (Рис. 14).

   

   Затем строится вид спереди (Рис. 15).

   

   Затем строится вид слева и наносятся размеры (Рис. 16).

   

   Работы проверяются и сохраняются на компьютерах учащимися.

   V. Дополнительный материал по теме

   Слайд 14 . Правильная усеченная пирамида (Рис. 17).

   

   Слайд 15. Пирамида, усеченная наклонной плоскостью (Рис. 18).

   

   Слайд 16. Развертка правильной треугольной пирамиды (Рис. 19).

   

   Слайд 17. Развертка параллелепипеда (Рис. 20).