Теорема гаусса формула. Теорема гаусса. Применение теоремы Остроградского-Гаусса для расчета элек­трических полей, создаваемых плоскостями, сферой и цилин­дром

Теорема Гаусса для электрической индукции (электрического смещения)[

Для поля в диэлектрической среде электростатическая теорема Гаусса может быть записана еще и иначе (альтернативным образом) - через поток вектора электрического смещения(электрической индукции). При этом формулировка теоремы выглядит следующим образом: поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности свободному электрическому заряду:

В дифференциальной форме:

Теорема Гаусса для магнитной индукции

Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

или в дифференциальной форме

Это эквивалентно тому, что в природе не существует «магнитных зарядов» (монополей), которые создавали бы магнитное поле, как электрические заряды создают электрическое поле . Иными словами, теорема Гаусса для магнитной индукции показывает, что магнитное поле является (полностью) вихревым .

Теорема Гаусса для ньютоновской гравитации

Для напряжённости поля ньютоновской гравитации (ускорения свободного падения) теорема Гаусса практически совпадает с таковой в электростатике, за исключением только констант (впрочем, всё равно зависящих от произвольного выбора системы единиц) и, главное, знака :

где g - напряжённость гравитационного поля, M - гравитационный заряд (то есть масса) внутри поверхности S , ρ - плотность массы, G - ньютоновская константа.

Проводники в электрическом поле. Поле внутри проводника и на его поверхности.

Проводниками называют тела, через которые электрические заряды могут переходить от заряженного тела к незаряженному. Способность проводников пропускать через себя электрические заряды объясняется наличием в них свободных носителей заряда. Проводники - металлические тела в твердом и жидком состоянии, жидкие растворы электролитов. Свободные заряды проводника, внесенного в электрическое поле, под его действием приходят в движение. Перераспределение зарядов вызывает изменение электрического поля. Когда напряженность электрического поля в проводнике становится равной нулю, электроны прекращают движение. Явление разделения разноименных зарядов в проводнике, помещенным в электрическое поле называется электростатической индукцией. Внутри проводника электрического поля нет. Это используют для электростатической защиты - защиты с помощью металлических проводников от электрического поля. Поверхность проводящего тела любой формы в электрическом поле является эквипотенциальной поверхностью.

Конденсаторы

Для получения устройств, которые при небольшом относительно среды потенциале накапливали бы на себе (конденсировали) заметные по величине заряды используют тот факт, что электроемкость проводника возрастает при приближении к нему других тел. Действительно, под действием поля, создаваемого заряженными проводниками, на поднесенном к нему теле возникают индуцированные (на проводнике) или связанные (на диэлектрике) заряды (рис.15.5). Заряды, противоположные по знаку заряду проводника q располагаются ближе к проводнику, чем одноименные с q, и, следовательно, оказывают большое влияние на его потенциал.

Поэтому при поднесении к заряженному проводнику какого либо тела напряженность поля уменьшается, а, следовательно, уменьшается потенциал проводника. Согласно уравнение это означает увеличение емкости проводника.

Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок) (рис.15.6), разделенных прослойкой диэлектрика. При приложении к проводнику некоторой разности потенциалов его обкладки заряжаются равными по величине зарядами противоположного знака. Под электроемкостью конденсатора понимается физическая величина, пропорциональная заряду q и обратно пропорциональна разности потенциалов между обкладками

Определим емкость плоского конденсатора.

Если площадь обкладки S , а заряд на ней q, то напряженность поля между обкладками

С другой стороны разность потенциалов между обкладками откуда

Энергия системы точечных зарядов, заряженного проводника и конденсатора.

Всякая система зарядов обладает некоторой потенциальной энергией взаимодействия, которая равна работе, затраченной на создание этой системы. Энергия системы точечных зарядов q 1 , q 2 , q 3 ,… q N определяется следующим образом:

где φ 1 – потенциал электрического поля, создаваемого всеми зарядами кроме q 1 в той точке, где находится зарядq 1 и т.д. Если изменяется конфигурация системы зарядов, то изменяется и энергия системы. Для изменения конфигурации системы необходимо совершение работы.

Потенциальную энергию системы точечных зарядов можно рассчитать другим способом. Потенциальная энергия двух точечных зарядов q 1 , q 2 на расстоянии друг от друга равна. Если зарядов несколько, то потенциальную энергию этой системы зарядов можно определить как сумму потенциальных энергий всех пар зарядов, которые можно составить для этой системы. Так, для системы трех положительных зарядов энергия системы равна

Энергия заряженного уединенного проводника и конденсатора

Если уединенный проводник имеет заряд q, то вокруг него существует электрическое поле, потенциал которого на поверхности проводника равен , а емкость - С. Увеличим заряд на величину dq. При переносе заряда dq из бесконечности должна быть совершена работа равная . Но потенциал электростатического поля данного проводника в бесконечности равен нулю . Тогда

При переносе заряда dq с проводника в бесконечность такую же работу совершают силы электростатического поля. Следовательно, при увеличении заряда проводника на величину dq возрастает потенциальная энергия поля, т.е.

Проинтегрировав данное выражение, найдем потенциальную энергию электростатического поля заряженного проводника при увеличении его заряда от нуля до q:

Применяя соотношение , можно получить следующие выражения для потенциальной энергии W:

Для заряженного конденсатора разность потенциалов (напряжение) равна поэтому соотношение для полной энергии его электростатического поля имеют вид

Поток вектора напряженности электрического поля. Пусть небольшую площадку D S (рис.1.2) пересекают силовые линии электрического поля, направление которых составляет с нормалью n к этой площадке угол a . Полагая, что вектор напряженности Е не меняется в пределах площадки D S , определим поток вектора напряженности через площадку D S как

D F E = E D S cos a .(1.3)

Поскольку густота силовых линий равна численному значению напряжённости E , то количество силовых линий, пересекающих площадку D S , будет численно равно значению потока D F E через поверхность D S . Представим правую часть выражения (1.3) как скалярное произведение векторов E и D S = n D S , где n – единичный вектор нормали к поверхности D S . Для элементарной площадки dS выражение (1.3) принимает вид

d F E = E dS

Через всю площадку S поток вектора напряженности вычисляется как интеграл по поверхности

Поток вектора электрической индукции. Поток вектора электрической индукцииопределяется аналогично потоку вектора напряженности электрического поля

d F D = D dS

В определениях потоков заметна некоторая неоднозначность, связанная с тем, что для каждой поверхности можно задать две нормали противоположного направления. Для замкнутой поверхности положительной считается внешняя нормаль.

Теорема Гаусса. Рассмотрим точечный положительный электрический заряд q , находящийся внутри произвольной замкнутой поверхности S (рис. 1.3). Поток вектора индукции через элемент поверхности dS равен
(1.4)

Составляющую dS D = dS cos a элемента поверхности dS в направлении вектора индукции D рассматриваем как элемент сферической поверхности радиуса r , в центре которой расположен заряд q .

Учитывая, что dS D / r 2 равен элементарному телесному углу d w , под которым из точки нахождения заряда q виден элемент поверхности dS , преобразуем выражение (1.4) к виду d F D = q d w / 4 p , откуда после интегрирования по всему окружающему заряд пространству, т. е. в пределах телесного угла от 0 до 4 p , получим

F D = q .

Поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен заряду, заключенному внутри этой поверхности .

Если произвольная замкнутая поверхность S не охватывает точечный заряд q (рис. 1.4), то, построив коническую поверхность с вершиной в точке нахождения заряда, разделим поверхность S на две части: S 1 и S 2 . Поток вектора D через поверхность S найдем как алгебраическую сумму потоков через поверхности S 1 и S 2:

.

Обе поверхности из точки нахождения заряда q видны под одним телесным углом w . Поэтому потоки равны

Поскольку при вычислении потока через замкнутую поверхность используется внешняя нормаль к поверхности, легко видеть, что поток Ф 1D < 0, тогда как поток Ф 2D > 0. Суммарный поток Ф D = 0. Это означает, что поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы не зависит от зарядов, расположенных вне этой поверхности.

Если электрическое поле создаётся системой точечных зарядов q 1 , q 2 ,¼ , q n , которая охватывается замкнутой поверхностью S , то, в соответствии с принципом суперпозиции, поток вектора индукции через эту поверхность определяется как сумма потоков, создаваемых каждым из зарядов. Поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен алгебраической сумме зарядов, охваченныхэтой поверхностью :

Следует отметить, что заряды q i не обязательно должны быть точечными, необходимое условие - заряженная область должна полностью охватываться поверхностью. Если в пространстве, ограниченном замкнутой поверхностью S , электрический заряд распределен непрерывно, то следует считать, что каждый элементарный объём dV имеет заряд . В этом случае в правой части выражения (1.5) алгебраическое суммирование зарядов заменяется интегрированием по объёму, заключённому внутри замкнутой поверхности S :

(1.6)

Выражение (1.6) является наиболее общей формулировкой теоремы Гаусса : поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен суммарному заряду в объеме, охваченном этой поверхностью, и не зависит от зарядов, расположенных вне рассматриваемой поверхности . Теорему Гаусса можно записать и для потока вектора напряженности электрического поля:

.

Из теоремы Гаусса следует важное свойство электрического поля: силовые линии начинаются или заканчиваются только на электрических зарядах или уходят в бесконечность . Еще раз подчеркнем, что, несмотря на то, что напряжённость электрического поля E и электрическая индукция D зависят от расположения в пространстве всех зарядов, потоки этих векторов через произвольную замкнутую поверхность S определяются только теми зарядами, которые расположены внутри поверхности S .

Дифференциальная форма теоремы Гаусса. Отметим, чтоинтегральная форма теоремы Гаусса характеризует соотношения между источниками электрического поля (зарядами) и характеристиками электрического поля (напряженностью или индукцией) в объеме V произвольной, но достаточной для формирования интегральных соотношений, величины. Производя деление объема V на малые объемы V i , получим выражение

справедливое как в целом, так и для каждого слагаемого. Преобразуем полученное выражение следующим образом:

(1.7)

и рассмотрим предел, к которому стремится выражение в правой части равенства, заключенное в фигурных скобках, при неограниченном делении объема V . В математике этот предел называют дивергенцией вектора (в данном случае вектора электрической индукции D ):

Дивергенция вектора D в декартовых координатах:

Таким образом выражение (1.7) преобразуется к виду:

.

Учитывая, что при неограниченном делении сумма в левой части последнего выражения переходит в объемный интеграл, получим

Полученное соотношение должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V . Это возможно лишь в том случае, если значения подынтегральных функций в каждой точке пространства одинаковы. Следовательно, дивергенция вектора D связана с плотностью заряда в той же точке равенством

или для вектора напряженности электростатического поля

Эти равенства выражают теорему Гаусса в дифференциальной форме .

Отметим, что в процессе перехода к дифференциальной форме теоремы Гаусса получается соотношение, которое имеет общий характер:

.

Выражение называется формулой Гаусса - Остроградского и связывает интеграл по объему от дивергенции вектора с потоком этого вектора сквозь замкнутую поверхность, ограничивающую объем.

Вопросы

1) В чем заключается физический смысл теоремы Гаусса для электростатического поля в вакууме

2) В центре куба находится точечный заряд q . Чему равен поток вектора Е :

а) через полную поверхность куба; б) через одну из граней куба.

Изменятся ли ответы, если:

а) заряд находится не в центре куба, но внутри его; б) заряд находится вне куба.

3) Что такое линейная, поверхностная, объемная плотности заряда.

4) Укажите связь объемной и поверхностной плотности зарядов.

5) Может ли поле вне разноименно и однородно заряженных параллельных бесконечных плоскостей быть отличным от нуля

6) Электрический диполь помещен внутрь замкнутой поверхности. Каков поток сквозь эту поверхность

Наиболее сложным оказывается изучение электрических явлений в неоднородной электрической среде. В такой среде ε имеет различные значения, изменяясь на границе диэлектриков скачкообразно. Предположим, что мы определяем напряжённость поля на границе раздела двух сред: ε 1 =1 (вакуум или воздух) и ε 2 =3 (жидкость – масло). На границе раздела при переходе из вакуума в диэлектрик напряжённость поля уменьшается в три раза, во столько же раз уменьшается поток вектора напряжённости (рис.12.25, а). Скачкообразное изменение вектора напряжённости электростатического поля на границе раздела двух сред создаёт определённые трудности при расчёте полей. Что касается теоремы Гаусса, то в этих условиях она вообще теряет смысл.

Так как поляризуемость и напряжённость разнородных диэлектриков различна, различным будет и число силовых линий в каждом диэлектрике. Это затруднение можно устранить, введя новую физическую характеристику поля электрическую индукцию D (или вектор электрического смещения ).

Согласно формуле

ε 1 Е 1 = ε 2 Е 2 =Е 0 =const

Умножая все части этих равенств на электрическую постоянную ε 0 получим

ε 0 ε 1 Е 1 = ε 0 ε 2 Е 2 =ε 0 Е 0 =const

Введём обозначение ε 0 εЕ=D тогда предпоследнее соотношение примет вид

D 1 = D 2 =D 0 =const

Вектор D, равный произведению напряжённости электрического поля в диэлектрике на его абсолютную диэлектрическую проницаемость, называют вектором электрического смещения

(12.45)

Единица электрического смещения – кулон на квадратный метр (Кл/м 2).

Электрическое смещение – векторная величина, её можно выразить ещё как

D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

В отличие от напряжённости Е электрическое смещение D постоянно во всех диэлектриках (рис.12.25, б). Поэтому электрическое поле в неоднородной диэлектрической среде удобно характеризовать не напряжённостью Е, а вектором смещения D . Вектором D описывается электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т.е. в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика, так как связанные заряды, возникающие в диэлектрики, могут вызвать, перераспределение свободных зарядов создающих поле.

Поле вектора графически изображается линиями электрического смещения точно так же, как полеизображается силовыми линиями.

Линия электрического смещения – это линии, касательные к которым в каждой точке совпадают по направлению с вектором электрического смещения.

Линии вектора Е могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах – свободных и связанных, в то время как линии вектора D - только на свободных зарядах. Линии вектора D в отличие от линий напряжённости непрерывны.

Так как вектор электрического смещения не испытывает разрыва на границе раздела двух сред, то все линии индукции, исходящие из зарядов, окружённых некоторой замкнутой поверхностью, пронижут её. Поэтому для вектора электрического смещения теорема Гаусса полностью сохраняет свой смысл и для неоднородной диэлектрической среды.

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике : поток вектора электрического смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов заключенных внутри этой поверхности.

(12.47)

Закон взаимодействия электрических зарядов - закон Кулона - можно сформулировать иначе, в виде так называемой теоремы Гаусса. Теорема Гаусса получается как следствие закона Кулона и принципа суперпозиции. Доказательство основывается на обратной пропорциональности силы взаимодействия двух точечных зарядов квадрату расстояния между ними. Поэтому теорема Гаусса применима к любому физическому полю, где действует закон обратных квадратов и принцип суперпозиции, например к гравитационному полю.

Рис. 9. Линии напряженности электрического поля точечного заряда, пересекающие замкнутую поверхность X

Для того чтобы сформулировать теорему Гаусса, вернемся к картине силовых линий электрического поля неподвижного точечного заряда. Силовые линии уединенного точечного заряда представляют собой симметрично расположенные радиальные прямые (рис. 7). Можно провести любое число таких линий. Обозначим полное их число через Тогда густота силовых линий на расстоянии от заряда, т. е. число линий, пересекающих единицу поверхности сферы радиуса равна Сравнивая это соотношение с выражением для напряженности поля точечного заряда (4), видим, что густота линий пропорциональна напряженности поля. Мы можем сделать эти величины численно равными, надлежащим образом выбрав полное число силовых линий N:

Таким образом, поверхность сферы любого радиуса, охватывающей точечный заряд пересекает одно и то же число силовых линий. Это значит, что силовые линии непрерывны: в промежутке между любыми двумя концентрическими сферами разных радиусов ни одна из линий не обрывается и не добавляется ни одной новой. Поскольку силовые линии непрерывны, то такое же число силовых линий пересекает любую замкнутую поверхность (рис. 9), охватывающую заряд

Силовые линии имеют направление. В случае положительного заряда они выходят наружу из окружающей заряд замкнутой поверхности, как показано на рис. 9. В случае отрицательного заряда они входят внутрь поверхности. Если число выходящих линий считать положительным, а входящих - отрицательным, то в формуле (8) можно опустить знак модуля у заряда и записать ее в виде

Поток напряженности. Введем теперь понятие потока вектора напряженности поля через поверхность. Произвольное поле можно мысленно разбить на малые области, в которых напряженность меняется по модулю и направлению столь мало, что в пределах этой области поле можно считать однородным. В каждой такой области силовые линии представляют собой параллельные прямые и имеют постоянную густоту.

Рис. 10. К определению потока вектора напряженности поля через площадку

Рассмотрим, какое число силовых линий пронизывает малую площадку направление нормали к которой образует угол а с направлением линий напряженности (рис. 10). Пусть - проекция на плоскость, перпендикулярную силовым линиям. Так как число линий, пересекающих одинаково, а густота линий, согласно принятому условию, равна модулю напряженности поля Е, то

Величина а представляет собой проекцию вектора Е на направление нормали к площадке

Поэтому число силовых линий пересекающих площадку равно

Произведение носит название потока напряженности поля через поверхность Формула (10) показывает, что поток вектора Е через поверхность равен числу силовых линий, пересекающих эту поверхность. Отметим, что поток вектора напряженности, как и число проходящих через поверхность силовых линий, есть скаляр.

Рис. 11. Поток вектора напряженности Е через площадку

Зависимость потока от ориентации площадки относительно силовых линий иллюстрируется рис.

Поток напряженности поля через произвольную поверхность представляет собой сумму потоков через элементарные площадки, на которые можно разбить эту поверхность. В силу соотношений (9) и (10) можно утверждать, что поток напряженности поля точечного заряда через любую охватывающую заряд замкнутую поверхность 2 (см. рис. 9), как число выходящих из этой поверхности силовых линий равен При этом вектор нормали к элементарным площадкам замкнутой поверхности следует направлять наружу. Если заряд внутри поверхности отрицателен, то силовые линии входят внутрь этой поверхности и связанный с зарядом поток вектора напряженности поля также отрицателен.

Если внутри замкнутой поверхности находится несколько зарядов, то в соответствии с принципом суперпозиции будут складываться потоки напряженностей их полей. Полный поток будет равен где под следует понимать алгебраическую сумму всех зарядов, находящихся внутри поверхности.

Если внутри замкнутой поверхности электрических зарядов нет или их алгебраическая сумма равна нулю, то полный поток напряженности поля через эту поверхность равен нулю: сколько силовых линий входит в объем, ограниченный поверхностью, столько же и выходит наружу.

Теперь можно окончательно сформулировать теорему Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля Е в вакууме через любую замкнутую поверхность пропорционален полному заряду находящемуся внутри этой поверхности. Математически теорема Гаусса выражается той же формулой (9), где под понимается алгебраическая сумма зарядов. В абсолютной электростатической

системе единиц СГСЭ коэффициент и теорема Гаусса записывается в виде

В СИ и поток напряженности через замкнутую поверхность выражается формулой

Теорема Гаусса широко используется в электростатике. В некоторых случаях с ее помощью легко рассчитываются поля, создаваемые симметрично расположенными зарядами.

Поля симметричных источников. Применим теорему Гаусса для расчета напряженности электрического поля равномерно заряженного по поверхности шара радиуса . Будем для определенности считать его заряд положительным. Распределение зарядов, создающих поле, обладает сферической симметрией. Поэтому такой же симметрией обладает и поле. Силовые линии такого поля направлены по радиусам, а модуль напряженности одинаков во всех точках, равноудаленных от центра шара.

Для того чтобы найти напряженность поля на расстоянии от центра шара, проведем мысленно концентрическую с шаром сферическую поверхность радиуса Поскольку во всех точках этой сферы напряженность поля направлена перпендикулярно ее поверхности и одинакова по модулю, то поток напряженности просто равен произведению напряженности поля на площадь поверхности сферы:

Но эту величину можно выразить и с помощью теоремы Гаусса. Если нас интересует поле вне шара, т. е. при то, например, в СИ и, сравнивая с (13), находим

В системе единиц СГСЭ, очевидно,

Таким образом, снаружи шара напряженность поля такая же, как у поля точечного заряда помещенного в центр шара. Если же интересоваться полем внутри шара, т. е. при то так как весь распределенный по поверхности шара заряд находится вне мысленно проведенной нами сферы. Поэтому поле внутри шара отсутствует:

Аналогично с помощью теоремы Гаусса можно рассчитать электростатическое поле, создаваемое бесконечной заряженной

плоскостью с плотностью постоянной во всех точках плоскости. По соображениям симметрии можно считать, что силовые линии перпендикулярны плоскости, направлены от нее в обе стороны и имеют всюду одинаковую густоту. Действительно, если бы густота силовых линий в разных точках была различной, то перемещение заряженной плоскости вдоль самой себя приводило бы к изменению поля в этих точках, что противоречит симметрии системы - такой сдвиг не должен изменять поле. Другими словами, поле бесконечной равномерно заряженной плоскости является однородным.

В качестве замкнутой поверхности для применения теоремы Гаусса выберем поверхность цилиндра, построенного следующим образом: образующая цилиндра параллельна силовым линиям, а основания имеют площади параллельны заряженной плоскости и лежат по разные стороны от нее (рис. 12). Поток напряженности поля через боковую поверхность равен нулю, поэтому полный поток через замкнутую поверхность равен сумме потоков через основания цилиндра:

Рис. 12. К вычислению напряженности поля равномерно заряженной плоскости

По теореме Гаусса этот же поток определяется зарядом той части плоскости, которая лежит внутри цилиндра, и в СИ равен Сравнивая эти выражения для потока, находим

В системе СГСЭ напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости дается формулой

Для равномерно заряженной пластины конечных размеров полученные выражения приближенно справедливы в области, находящейся достаточно далеко от краев пластины и не слишком далеко от ее поверхности. Вблизи краев пластины поле уже не будет однородным и его силовые линии искривляются. На очень больших по сравнению с размерами пластины расстояниях поле убывает с расстоянием так же, как поле точечного заряда.

В качестве других примеров полей, создаваемых симметрично распределенными источниками, можно привести поле равномерно заряженной по длине бесконечной прямолинейной нити, поле равномерно заряженного бесконечного кругового цилиндра, поле шара,

равномерно заряженного по объему, и т. п. Теорема Гаусса позволяет во всех этих случаях легко рассчитывать напряженность поля.

Теорема Гаусса дает связь между полем и его источниками, в некотором смысле обратную той, что дает закон Кулона, который позволяет определить электрическое поле по заданным зарядам. С помощью теоремы Гаусса можно определить суммарный заряд в любой области пространства, в которой известно распределение электрического поля.

В чем различие концепций дальнодействия и близкодействия при описании взаимодействия электрических зарядов? В какой мере эти концепции можно применить к гравитационному взаимодействию?

Что такое напряженность электрического поля? Что имеют в виду, когда ее называют силовой характеристикой электрического поля?

Каким образом по картине силовых линий можно судить о направлении и модуле напряженности поля в некоторой точке?

Могут ли силовые линии электрического поля пересекаться? Аргументируйте свой ответ.

Нарисуйте качественную картину силовых линий электростатического поля двух зарядов таких, что .

Поток напряженности электрического поля через замкнутую поверхность выражается разными формулами (11) и (12) в системах единиц ГСЭ и в СИ. Как это увязать с геометрическим смыслом потока, определяемого числом силовых линйй, пересекающих поверхность?

Как использовать теорему Гаусса для нахождения напряженности электрического поля при симметричном распределении создающих его зарядов?

Как применить формулы (14) и (15) к вычислению напряженности поля шара с отрицательным зарядом?

Теорема Гаусса и геометрия физического пространства. Посмотрим на доказательство теоремы Гаусса с несколько иной точки зрения. Вернемся к формуле (7), из которой был сделан вывод о том, что через любую окружающую заряд сферическую поверхность проходит одно и то же число силовых линий. Этот вывод связан с тем, что происходит сокращение в знаменателях обеих частей равенства.

В правой части возникло из-за того, что сила взаимодействия зарядов, описываемая законом Кулона, обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами. В левой части появление связано с геометрией: площадь поверхности сферы пропорциональна квадрату ее радиуса.

Пропорциональность площади поверхности квадрату линейных размеров - это отличительная черта евклидовой геометрии в трехмерном пространстве. Действительно, пропорциональность площадей именно квадратам линейных размеров, а не какой-либо иной целой степени, характерно для пространства

трех измерений. То, что этот показатель степени равен точно двум, а не отличается от двойки пусть даже на ничтожно малую величину, свидетельствует о неискривленности этого трехмерного пространства, т. е. о том, что его геометрия именно евклидова.

Таким образом, теорема Гаусса - это проявление свойств физического пространства в фундаментальном законе взаимодействия электрических зарядов.

Идея о тесной связи фундаментальных законов физики со свойствами пространства высказывалась многими выдающимися умами еще задолго до установления самих этих законов. Так, И. Кант за три десятилетия до открытия закона Кулона писал о свойствах пространства: «Трехмерность происходит, по-видимому, оттого, что субстанции в существующем мире действуют одна на другую таким образом, что сила действия обратно пропорциональна квадрату расстояния».

Закон Кулона и теорема Гаусса фактически представляют один и тот же закон природы, выраженный в различных формах. Закон Кулона отражает концепцию дальнодействия, в то время как теорема Гаусса исходит из представления о силовом поле, заполняющем пространство, т. е. из концепции близкодействия. В электростатике источником силового поля является заряд, и связанная с источником характеристика поля - поток напряженности - не может измениться в пустом пространстве, где нет других зарядов. Поскольку поток можно наглядно представлять себе как совокупность силовых линий поля, то неизменность потока проявляется в непрерывности этих линий.

Теорема Гаусса, основанная на обратной пропорциональности взаимодействия квадрату расстояния и на принципе суперпозиции (аддитивности взаимодействия), применима к любому физическому полю, в котором действует закон обратных квадратов. В частности, она справедлива и для гравитационного поля. Ясно, что это не просто случайное совпадение, а отражение того, что и электрическое, и гравитационное взаимодействия разыгрываются в трехмерном евклидовом физическом пространстве.

На какой особенности закона взаимодействия электрических зарядов основана теорема Гаусса?

Докажите, основываясь на теореме Гаусса, что напряженность электрического поля точечного заряда обратно пропорциональна квадрату расстояния. Какие свойства симметрии пространства используются в этом доказательстве?

Каким образом геометрия физического пространства отражается в законе Кулона и теореме Гаусса? Какая особенность этих законов свидетельствует об евклидовом характере геометрии и трехмерности физического пространства?

Основная прикладная задача электростатики – расчет электрических полей, создаваемых в различных приборах и аппаратах. В общем виде эта задача решается с помощью закона Кулона и принципа суперпозиции. Однако эта задача очень усложняется при рассмотрении большого числа точечных или пространственно распределенных зарядов. Еще большие трудности возникают при наличии в пространстве диэлектриков или проводников, когда под действием внешнего поля Е 0 происходит перераспределение микроскопических зарядов, создающих свое дополнительное поле Е. Поэтому для практического решения этих задач используют вспомогательные методы и приемы, использующие сложный математический аппарат. Мы рассмотрим самый простой метод, основанный на применении теоремы Остроградского – Гаусса. Чтобы сформулировать эту теорему введем несколько новых понятий:

А)плотность заряда

Если заряженное тело велико, то нужно знать распределение зарядов внутри тела.

Объемная плотность заряда – измеряется зарядом единицы объема:

Поверхностная плотность заряда – измеряется зарядом единицы поверхности тела (когда заряд распределяется по поверхности):

Линейная плотность заряда (распределение заряда вдоль проводника):

б) вектор электростатической индукции

Вектором электростатической индукции (вектором электрического смещения) называется векторная величина, характеризующая электрическое поле.

Вектор равен произведению векторана абсолютную диэлектрическую проницаемость среды в данной точке:

Проверим размерность D в системе единиц СИ:

, т.к.
,

то размерности D и Е не совпадают, а также различны и их численные значения.

Из определения следует, что для поля вектораимеет место тот же принцип суперпозиции, как и для поля:

Поле графически изображается линиями индукции, точно так же как и поле . Линии индукции проводятся так, что касательная в каждой точке совпадает с направлением , а число линий равно численному значениюD в данном месте.

Чтобы понять смысл введения рассмотрим пример.

в) поток вектора электростатической индукции

Рассмотрим в электрическом поле поверхность S и выберем направление нормали

1. Если поле однородно, то число силовых линий через поверхность S:

2. Если поле неоднородно, то поверхность разбивают на бесконечно малые элементы dS, которые считают плоскими и поле возле них однородным. Поэтому поток через элемент поверхности равен: dN = D n dS,

а полный поток через любую поверхность:

(6)

Поток индукции N – величина скалярная; в зависимости от  может быть > 0 или < 0, или = 0.