Стержнем называют тело, один из размеров которого, называемый продольным, значительно превышает его размеры в плоскости, перпендикулярной к продольному направлению, т.е. поперечные размеры. Основным свойством стержня является сопротивление, оказываемое продольному сжатию (растяжению) и изгибу. Это свойство коренным образом отличает стержень от струны, которая не растягивается и не сопротивляется изгибу. Если плотность материала стержня во всех его точках одинакова, то стержень называют однородным.
Обычно в качестве стержней рассматриваются протяженные тела, ограниченные замкнутой цилиндрической поверхностью. В этом случае площадь поперечного сечения остается постоянной. Мы будем изучать поведение именно такого однородного стержня длины l , предполагая, что он подвержен только сжатию или растяжению, подчиняясь при этом закону Гука. При изучении малых продольных деформаций стержня обычно принимается так называемая гипотеза плоских сечений. Она заключается в том, что поперечные сечения, перемещаясь при сжатии или растяжении вдоль стержня, остаются плоскими и параллельными друг другу.
Направим ось x вдоль продольной оси стержня (Рис. 19) и будем считать, что в начальный момент времени концы стержня находятся в точках x=0 и x=l . Возьмем произвольное сечение стержня с координатой x . Обозначим через u (x , t ) смещение этого сечения в момент времени t , тогда смещение сечения с координатой в тот же момент времени будет равно
Тогда относительное удлинение стержня в сечении x будет равно
Сила сопротивления этому удлинению по закону Гука будет равна
где E – модуль упругости материала стержня (модуль Юнга), а S – площадь поперечного сечения. На границах участка стержня длиной dx на него действуют силы T x и T x + dx , направленные вдоль оси x . Результирующая эти их сил будет равна
,
а ускорение рассматриваемого участка стержня равно , тогда уравнение движения этого участка стержня будет иметь вид:
, (67)
где ρ – плотность материала стержня. Если эта плотность и модуль Юнга, постоянны, то можно ввести величину через и, поделив обе части уравнения на Sdx , окончательно получить уравнение продольных колебаний стержня в отсутствии внешних сил
(68)
Это уравнение по форме совпадает с уравнением поперечных колебаний струны и методы решения для него те же, однако, коэффициентом a в этих уравнениях обозначены разные величины. В уравнении струны величина a 2 представляет дробь,в числителе которой стоит постоянная сила натяжения струны – Т , а в знаменателе линейная плотность ρ , а в уравнении струныв числители стоит модуль Юнга, а в знаменателе – объемная плотность материала стержня ρ . Отсюда и физический смысл величины a в этих уравнениях разный. Если для струны этот коэффициент является скоростью распространения малого поперечного смещения, то для стержня он является скоростью распространения малого продольного растяжения или сжатия и называется скоростью распространением звука , поскольку именно с этой скоростью будут распространяться по стержню малые продольные колебания, представляющие собой звук.
Для уравнения (68) задаются начальные условия, которые определяют смещение и скорость смещения любого сечения стержня в начальный момент времени:
Для ограниченного стержня задаются условия закрепления или приложения силы на его концах в виде граничных условий 1-го, 2-го и 3-го рода.
Граничные условия первого рода задают продольное перемещение на концах стержня:
Если концы стержня закреплены неподвижно, то в условиях (6) 
. В этом случае, так же как и в задаче о колебании защемленной струны применим метод разделения переменных.
В граничных условиях II рода на концах стержня задаются упругие силы, образующиеся в результате деформации по закону Гука в зависимости от времени. Согласно формуле (66) эти силы с точностью до постоянного множителя равны производной u x , поэтому на концах и задаются эти производные как функции времени:
Если один из концов стержня свободен, то на этом конце u x = 0.
Граничные условия третьего рода могут быть представлены как условия, при которых к каждому концу стержня прикреплена пружина, другой конец которой перемещается вдоль оси по заданному закону времени θ (t ), как это изображено на Рис. 20. Эти условия могут быть записаны следующим образом
, (72)
где k 1 и k 2 – жесткости пружин.
Если на стержень вдоль оси действует ещё и внешняя сила p (x , t ), рассчитанная на единицу объема, то вместо уравнения (50) следует записать неоднородное уравнение
,
Которое, после деления на примет вид
, (73)
где 
. Уравнение (73) представляет собой уравнение вынужденных продольных колебаний стержня, которое решается по аналогии с уравнением вынужденных колебаний струны.
Замечание. Следует заметить, что и струна и стержень являются моделями реальных тел, которые в действительности могут проявлять как свойства струны, так и стержня, в зависимости от условий, в которых они находятся. Кроме того, в полученных уравнениях не учитываются силы сопротивления окружающей среды и силы внутреннего трения, в результате чего эти уравнения описывают незатухающие колебания. Для учета эффекта затухания в простейшем случае используется диссипативная сила, пропорциональная скорости и направленная в сторону, противоположную движению, т.е. скорости. В результате уравнение (73) принимает вид
(74)
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi УДК 517.956.3
ЗАДАЧА О ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО НАГРУЖЕННОГО СТЕРЖНЯ
А. Б. Бейлин
Самарский государственный технический университет, Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
Аннотация
Рассматриваются одномерные продольные колебания толстого короткого стержня, закреплённого на концах при помощи сосредоточенных масс и пружин. В качестве математической модели используется начально-краевая задача с динамическими краевыми условиями для гиперболического уравнения четвёртого порядка. Выбор именно этой модели обусловлен необходимостью учитывать эффекты деформации стержня в поперечном направлении, пренебрежение которыми, как показано Рэ-леем, приводит к ошибке, что подтверждено современной нелокальной концепцией изучения колебаний твёрдых тел. Доказано существование ортогональной с нагрузкой системы собственных функций исследуемой задачи и получено их представление. Установленные свойства собственных функций позволили применить метод разделения переменных и доказать существование единственного решения поставленной задачи.
Ключевые слова: динамические краевые условия, продольные колебания, ортогональность с нагрузкой, модель Рэлея.
Введение. В любой работающей механической системе возникают колебательные процессы, которые могут порождаться различными причинами. Колебательные процессы могут быть следствием конструктивных особенностей системы или перераспределения нагрузок между различными элементами штатно работающей конструкции.
Наличие в механизме источников колебательных процессов может затруднить диагностику его состояния и даже привести к нарушению режима его работы, а в некоторых случаях и к разрушению. Различные проблемы, связанные с нарушением точности и работоспособности механических систем в результате вибрации некоторых их элементов, на практике часто решаются экспериментально.
Вместе с тем колебательные процессы могут быть весьма полезными, например, для обработки материалов, сборки и разборки соединений . Ультразвуковые колебания позволяют не только интенсифицировать процессы резания (сверления, фрезерования, шлифования и т. д.) материалов с высокой твёрдостью (вольфрамосодержащих, титанокарбидных сталей и т. п.),
© 2016 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования
Бейлин А. Б. Задача о продольных колебаниях упруго закрепленного нагруженного стержня // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2016. T. 20, № 2. С. 249258. doi: 10.14498/vsgtu1474. Сведения об авторе
Александр Борисович Бейлин (к.т.н, доц.; [email protected]), доцент, каф. автоматизированных станочных и инструментальных систем.
но в некоторых случаях стать единственно возможным методом обработки хрупких материалов (германий, кремний, стекло и т. д.) . Элемент устройства (волновод), который передаёт ультразвуковые колебания от источника (вибратора) до инструмента, называется концентратором и может иметь различную форму: цилиндрическую, коническую, ступенчатую, экспоненциальную и т. д. . Его предназначение - донести до инструмента колебания нужной амплитуды.
Таким образом, следствия протекания колебательных процессов могут быть различными, как и причины, их вызывающие, поэтому естественно возникает необходимость теоретического изучения процессов колебания. Математическая модель распространения волн в относительно длинных и тонких твёрдых стержнях, в основе которой лежит волновое уравнение второго порядка, хорошо изучена и давно стала классикой . Однако, как показано Рэлеем , эта модель не вполне соответствует исследованию колебаний толстого короткого стержня, тогда как многие детали реальных механизмов можно интерпретировать как короткие и толстые стержни. В этом случае следует учитывать деформации стержня и в поперечном направлении. Математическая модель продольных колебаний толстого короткого стержня, в которой учтены эффекты поперечного движения стержня, называется стержнем Рэлея и базируется на гиперболическом уравнении четвёртого порядка
^ ^- IX (а(х) ё)- дх (ь(х))=; (хЛ (1)
коэффициенты которого имеют физический смысл :
д(х) = р(х)А(х), а(х) = А(х)Е(х), Ь(х) = р(х)и2(х)1р (х),
где А(х) -площадь поперечного сечения, р(х) -массовая плотность стержня, Е(х) -модуль Юнга, V(х) - коэффициент Пуассона, 1Р(х) -полярный момент инерции, и(х,Ь) - продольные смещения, подлежащие определению.
Идеи Рэлея нашли своё подтверждение и развитие в современных работах, посвященных процессам колебаний, а также теории пластичности. В обзорной статье обоснованы недостатки классических моделей, описывающих состояние и поведение твёрдых тел при нагрузке, в которых априори тело считается идеальным континуумом. Современный уровень развития естествознания требует построения новых моделей, адекватно описывающих исследуемые процессы, а разработанные в последние несколько десятилетий математические методы дают эту возможность. На этом пути в последнюю четверть прошлого века был предложен новый подход к изучению многих физических процессов, в том числе и упомянутых выше, основанный на понятии нелокальности (см. статью и список литературы в ней). Один из классов нелокальных моделей, выделенных авторами, назван «слабо нелокальными». Математические модели, принадлежащие этому классу, могут быть реализованы введением в уравнение, описывающее некоторый процесс, производных высокого порядка, позволяющих учитывать в некотором приближении взаимодействие внутренних элементов объекта изучения. Таким образом, модель Рэлея актуальна и в наше время.
1. Постановка задачи. Пусть концы стержня х = 0, х = I прикреплены к неподвижному основанию при помощи сосредоточенных масс Ы\, М2 и пружин, жёсткости которых К\ и К2. Будем считать, что стержень представляет собой тело вращения относительно оси 0х ив начальный момент времени находится в покое в положении равновесия. Тогда мы приходим к следующей начально-краевой задаче.
Задача. Найти в области Qт = {(0,1) х (0, Т) : 1,Т < те} "решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным
и(х, 0) = (р(х), щ(х, 0) = ф(х) и граничным условиям
а(0)их(0, г) + ь(0)илй(0, г) - к^(0, г) - М1ии(0, г) = 0, а(1)их(1, г) + Ъ(1)ихы(1, г) + К2и(1, г) + М2иы(1, г) = 0. ()
В статье рассмотрены некоторые частные случаи задачи (1)-(2) и приведены примеры, в которых коэффициенты уравнения имеют явный вид и М\ = М2 = 0. В статье доказана однозначная слабая разрешимость поставленной задачи в общем случае.
Условия (2) обусловлены способом закрепления стержня: его концы прикреплены к неподвижным основаниям с помощью некоторых приспособлений, имеющих массы М\, М2, и пружин с жёсткостями К1, К2 соответственно. Наличие масс и учёт поперечных смещений приводит к условиям вида (2), содержащим производные по времени. Краевые условия, в которые входят производные по времени, называются динамическими. Они могут возникать в различных ситуациях, простейшие из которых описаны в учебнике , а гораздо более сложные -в монографии .
2. Изучение собственных колебаний стержня. Рассмотрим однородное уравнение, соответствующее уравнению (1). Так как коэффициенты зависят только от х, можно разделить переменные, представив и(х,г) = X(х)Т(г). Получим два уравнения:
т""(г) + \2т (г) = 0,
((а(х) - Л2Ъ(х))Х"(х))" + Л2дХ(х) = 0. (3)
Уравнение (3) сопровождается краевыми условиями
(а(0) - \2Ъ(0))Х"(0) - (К1 - \2М1)Х(0) = 0,
(а(1) - \2Ъ(1))Х"(1) + (К2 - \2М2)Х(I) = 0. (4)
Таким образом, мы пришли к задаче Штурма-Лиувилля, которая отличается от классической тем, что спектральный параметр Л входит в коэффициент при старшей производной уравнения, а также в краевые условия. Это обстоятельство не позволяет ссылаться на известные из литературы результаты, поэтому нашей ближайшей целью является изучение задачи (3), (4). Для успешной реализации метода разделения переменных нам нужна информация о существовании и расположении собственных чисел, о качественных
свойствах собственных функций: обладают ли они свойством ортогональности?
Покажем, что Л2 > 0. Предположим, что это не так. Пусть X(х) -собственная функция задачи (3), (4), соответствующая значению Л = 0. Умножим (3) на X(х) и проинтегрируем полученное равенство по промежутку (0,1). Интегрируя по частям и применяя краевые условия (4), после элементарных преобразований получим
1(0) - Л2Ъ(0))(а(1) - Л2Ъ(1)) I (дХ2 + ЪХ"2)йх+
Ы\Х 2(0) + М2Х 2(1)
I аХ"2<1х + К\Х2(0) + К2Х2(1). Jo
Заметим, что из физического смысла функции а(х), Ъ(х), д(х) положительны, Кг, Мг неотрицательны. Но тогда из полученного равенства следует, что Х"(х) = 0, Х(0) = Х(1) = 0, следовательно, Х(х) = 0, что противоречит сделанному предположению. Стало быть, и предположение о том, что нуль есть собственное число задачи (3), (4) неверно.
Представление решения уравнения (3) зависит от знака выражения а(х) - - Л2Ъ(х). Покажем, что а(х)-Л2Ъ(х) > 0 Ух е (0,1). Зафиксируем произвольно х е (0,1) и найдём значения в этой точке функций а(х), Ъ(х), д(х). Запишем уравнение (3) в виде
Х"(х) + VХ (х) = 0, (5)
где мы обозначили
в выбранной фиксированной точке, а условия (4) запишем в виде
Х"(0) - аХ (0) = 0, Х"(1) + вХ (I) = 0, (6)
где а, в легко вычисляются.
Как известно, классическая задача Штурма-Лиувилля (5), (6) имеет счётное множество собственных функций при V > 0, откуда в силу произвольности х следует нужное неравенство.
Собственные функции задачи (3), (4) обладают свойством ортогональности с нагрузкой , выраженным соотношением
I (дХт(х)Хп(х) + ЪХ"т(х)Х"п(х))<х+ ■)о
М1Хт(0)Хп(0) + М2Хт(1)Хп (I) = 0, (7)
которое можно получить стандартным способом (см., например, ), реализация которого в случае рассматриваемой задачи связана с элементарными, но кропотливыми вычислениями. Приведём кратко его вывод, опустив аргумент функций Хг(х) во избежание громоздкости.
Пусть Лт, Лп - различные собственные числа, Хт, Хп - соответствующие им собственные функции задачи (3), (4). Тогда
{(а - Л2тЪ)Х"т)" + Л2тдХт = 0, {(а - Л2пЪ)Х"п)" + Л2пдХп = 0.
Умножим первое из этих уравнений на Хп, а второе на Хт и вычтем из первого второе. После элементарных преобразований получим равенство
(Лт - Лп)ЯХтХп = (аХтХП)" - ЛП(ЪХтХ"п)" - (аХ"тХп)" + Лт(ЪХтХп)",
которое проинтегрируем по промежутку (0,1). В результате, учитывая (4) и сокращая на (Лт - Лп), получим соотношение (7).
Доказанные утверждения о свойствах собственных чисел и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля (3), (4) позволяют применить для отыскания решения поставленной задачи метод разделения переменных.
3. Разрешимость задачи. Обозначим
С(СТ) = {и: и е С(Ст) П С2(Ст), иихх е С^т)}.
Теорема 1. Пусть а,Ъ е С1 , д е С. Тогда существует не более одного решения и е С^т) задачи (1), (2).
Доказательство. Предположим, что существует два различных решения задачи (1), (2), и1(х,г) и и2(х,г). Тогда, в силу линейности задачи, их разность и = и1 - и2 является решением однородной задачи, соответствующей (1), (2). Покажем, что её решение тривиально. Предварительно заметим, что из физического смысла коэффициентов уравнения и краевых условий функции а, Ъ, д положительны всюду в Qт, а М^, К^ неотрицательны.
Умножив равенство (1) на щ и проинтегрировав по области Qт, где т е и произвольно, после несложных преобразований получим
/ (ди2(х,т) + аи2х(х,т) + ЪиХл(х,т))йх+ ./о
К1и2(0, т) + М1и2(0, т) + К2и2(1, т) + М2и2(1, т) = 0,
откуда в силу произвольности т сразу вытекает справедливость утверждения теоремы. □
Доказательство существования решения проведём для случая постоянных коэффициентов.
Теорема 2. Пусть <р е С2, <р(0) = <р(1) = (0) = ц>"(\) = 0, имеет кусочно непрерывную производную третьего порядка в (0,1), ф е С 1, ф(0) = ф(1) =0 и имеет кусочно непрерывную производную второго порядка в (0,1), f е С(С^т), тогда решение задачи (1), (2) существует и может быть получено в виде суммы ряда по собственным функциям.
До к а з а т е л ь с т в о. Будем, как обычно, искать решение задачи в виде суммы
где первое слагаемое - решение поставленной задачи для однородного уравнения, соответствующего (1), второе - решение уравнения (1), удовлетворяющее нулевым начальным и граничным условиям. Воспользуемся результатами проведённых в предыдущем пункте исследований и запишем общее решение уравнения (3):
X(x) = Сг cos A J-+ C2 sin Aw-^rrx.
\¡ a - A2b \¡ a - A2b
Применив краевые условия (4), приходим к системе уравнений относительно Cj!
(a - A2b)c2 - (Ki - A2Mi)ci = 0,
(-A(a - A2b) sin Ayja-A¡bl + (K - A2M2) cos A^O-A^l) ci+
Приравнивая нулю ее определитель, получаем спектральное уравнение ctg= {а - A4)A2" - (K - A?Mí)(K2 - A"M). (8) ь Va - A2b A^q(a - A2b)(Ki + K2 - A2(Mi + M2)) Выясним, имеет ли это трансцендентное уравнение решения. Для этого рассмотрим функции, стоящие в левой и правой его частях, и исследуем их поведение. Не слишком ограничивая общность, положим Mi = M2 = M, Кг = K2 = K, что позволит слегка упростить необходимые вычисления. Уравнение (8) принимает вид х I q , Aja - A2b Jq К - A2M ctg A\Z-^l = a - A2b 2(K - A2M) 2А^^0-А2Ь" Обозначим и запишем в новых обозначениях спектральное уравнение! aqlß Kql2 + ß2 (Kb - aM) 2Kql2 + 2^2(Kb - aM) 2/j.aql Анализ функций левой и правой частей последнего уравнения позволяет утверждать, что существует счётное множество его корней и, стало быть, счётное множество собственных функций задачи Штурма-Лиувилля (3), (4), которые с учетом соотношения, полученного из системы относительно c¿, можно выписать v / л л I q K - х2пм. л i q Xn(x) = COS XnJ-гутx + ----sin XnJ-гтутX. V a - A2b AnVa - ftb^q V a - A2b Теперь перейдём к отысканию решения, удовлетворяющего и начальным условиям. Решение задачи для однородного уравнения мы теперь легко найдём в виде ряда u(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x), коэффициенты которого можно найти из начальных данных, пользуясь свойством ортогональности функций Xn(x), норма которых может быть получена из соотношения (7): ||X||2 = f (qX2 + bX%)dx + MiX2(0) + M2x2(l). ■Jo Процесс нахождения функции v(x,t) также является, по существу, стандартным, но мы всё же заметим, что, отыскивая решение в традиционном виде v(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x), мы получаем два уравнения. Действительно, учитывая вид собственных функций, уточним структуру ряда, в виде которого мы ищем решение: j(x,t) = ^ (Vn(t)cos Xn^J a b x+ Wn(t) K-XnM~ sin Х^ГАягx). (9) v JXnVa - xnb^q V a - xn " Для выполнения нулевых начальных условий у(х, 0) = у^х, 0) = 0 потребуем, чтобы Уп(0) = УП(0) = 0, Шп(0) = Ш(0) = 0. Разложив f(х,г) в ряд Фурье по собственным функциям Хп(х), найдём коэффициенты ¡п(Ь) и дп(Ь). Подставив (9) в уравнение (1), записанное относительно у(х,Ь), после ряда преобразований получим уравнения для отыскания Уп(Ь) и Шп(Ь): уц® + >&пЮ = ™ + xn Wn (<) = Xn (-a-iKrW g Учитывая начальные условия Уп(0) = У,(0) = 0, Шп(0) = Ш,(0) = 0, приходим к задачам Коши относительно каждой из функций Уп(Ь) и Шп(Ь), однозначная разрешимость которых гарантирована условиями теоремы. Свойства начальных данных, сформулированные в теореме, не оставляют сомнений в сходимости всех рядов, возникших в ходе наших исследований и, стало быть, в существовании решения поставленной задачи. □ Заключение. Доказано существование ортогональной с нагрузкой системы собственных функций исследуемой задачи и получено их представление. Установленные свойства собственных функций позволили доказать существование единственного решения поставленной задачи. Отметим, что полученные в статье результаты могут быть использованы как для дальнейших теоретических исследований задач с динамическими граничными условиями, так и для практических целей, а именно для расчёта продольных колебаний широкого круга технических объектов. Александр Борисович Бейлин: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Нерубай М. С., Штриков Б. Л., Калашников В. В. Ультразвуковая механическая обработка и сборка. Самара: Самарское книжное изд-во, 1995. 191 с. 2. Хмелёв В. Н., Барсуков Р. В., Цыганок С. Н. Ультразвуковая размерная обработка материалов. Барнаул: Алтайский технический ун-т им. И.И. Ползунова, 1997. 120 с. 3. Кумабэ Д. Вибрационное резание. М.: Машиностроение, 1985. 424 с. 4. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004. 798 с. 5. Стретт Дж. В. Теория звука. Т. 1. М.: ГИТТЛ, 1955. 504 с. 6. Rao J. S. Advanced Theory of Vibration: Nonlinear Vibration and One Dimensional Structures. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1992. 431 pp. 7. Федотов И. А., Полянин А. Д., Шаталов М. Ю. Теория свободных и вынужденных колебаний твердого стержня, основанная на модели Рэлея// ДАН, 2007. Т. 417, №1. С. 56-61. 8. Bazant Z., Jirasek M. Nonlocal Integral Formulations of Plasticity and Damage: Survey of Progress// J. Eng. Mech., 2002. vol.128, no. 11. pp. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE) 0733-9399(2002)128:11(1119). 9. Бейлин А. Б., Пулькина Л. С. Задача о продольных колебаниях стержня с динамическими граничными условиями// Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2014. №3(114). С. 9-19. 10. Корпусов М. О. Разрушение в неклассических волновых уравнениях. М.: URSS, 2010. 237 с. Поступила в редакцию 10/II/2016; в окончательном варианте - 18/V/2016; принята в печать - 27/V/2016. Vestn. Samar. Gos. Techn. Un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki 2016, vol. 20, no. 2, pp. 249-258 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1474 MSC: 35L35, 35Q74 A PROBLEM ON LONGITUDINAL VIBRATION OF A BAR WITH ELASTIC FIXING Samara State Technical University, 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation. In this paper, we study longitudinal vibration in a thick short bar fixed by point forces and springs. For mathematical model we consider a boundary value problem with dynamical boundary conditions for a forth order partial differential equation. The choice of this model depends on a necessity to take into account the result of a transverse strain. It was shown by Rayleigh that neglect of a transverse strain leads to an error. This is confirmed by modern nonlocal theory of vibration. We prove existence of orthogonal with load eigenfunctions and derive representation of them. Established properties of eigenfunctions make possible using the separation of variables method and finding a unique solution of the problem. Keywords: dynamic boundary conditions, longitudinal vibration, loaded orthogonality, Rayleigh"s model. Alexander B. Beylin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860 1. Nerubai M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Ul"trazvukovaia mekhanicheskaia obrabotka i sborka . Samara, Samara Book Publ., 1995, 191 pp. (In Russian) 2. Khmelev V. N., Barsukov R. V., Tsyganok S. N. Ul"trazvukovaia razmernaia obrabotka materialov . Barnaul, 1997, 120 pp. (In Russian) 3. Kumabe J. Vibration Cutting. Tokyo, Jikkyou Publishing Co., Ltd., 1979 (In Japanese). 4. Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki . Moscow, Nauka, 2004, 798 pp. (In Russian) 5. Strutt J. W. The theory of sound, vol. 1. London, Macmillan and Co., 1945, xi+326 pp. 6. Rao J. S. Advanced Theory of Vibration: Nonlinear Vibration and One Dimensional Structures. New York, John Wiley & Sons, Inc., 1992, 431 pp. Beylin A.B. A problem on longitudinal vibration of a bar with elastic fixing, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki , 2016, vol. 20, no. 2, pp. 249-258. doi: 10.14498/vsgtu1474. (In Russian) Author Details: Alexander B. Beylin (Cand. Techn. Sci.; [email protected]), Associate Professor, Dept. of Automation Machine Tools and Tooling Systems. 7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu. Theory of free and forced vibrations of a rigid rod based on the Rayleigh model, Dokl. Phys., 2007, vol.52, no. 11, pp. 607-612. doi: 10.1134/S1028335807110080. 8. Bazant Z., Jirasek M. Nonlocal Integral Formulations of Plasticity and Damage: Survey of Progress, J. Eng. Mech., 2002, vol.128, no. 11, pp. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE) 0733-9399(2002)128:11(1119). 9. Beylin A. B., Pulkina L. S. A promlem on longitudinal vibrations of a rod with dynamic boundary conditions, Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2014, no. 3(114), pp. 919 (In Russian). 10. Korpusov M. O. Razrushenie v neklassicheskikh volnovykh uravneniiakh . Moscow, URSS, 2010, 237 pp. (In Russian) Received 10/II/2016; received in revised form 18/V/2016; Рассмотрим однородный стержень длины т. е. тело цилиндрической или какой-либо иной формы, для растяжения или изгибания которого надо приложить известное усилие. Последнее обстоятельство и отличает даже самый тонкий стержень от струны, которая, как мы знаем, гнется свободно. В настоящей главе мы займемся приложением метода характеристик к изучению продольных колебаний стержня, причем ограничимся исследованием только таких колебаний, при которых поперечные сечения перемещаясь вдоль оси стержня, остаются плоскими и параллельными друг другу (рис. 6). Подобное допущение оправдано, если поперечные размеры стержня будут невелики по сравнению с его длиной. Если несколько растянуть или сжать стержень вдоль продольной оси, а затем предоставить самому себе, то в нем возникнут продольные колебания. Направим ось вдоль оси стержня и будем считать, что в состоянии покоя концы стержня находятся в точках Пусть абсцисса некоторого сечения стержня, когда последний находится в покое. Обозначим через смещение этого сечения в момент времени тогда смещение сечения с абсциссой будет равно Отсюда ясно, что относительное удлинение стержня в сечении с абсциссой х выражается производной Считая теперь, что стержень совершает малые колебания, можно вычислить в этом сечении натяжение Действительно» применяя закон Гука, найдем, что где модуль упругости материала стержня, площадь его поперечного сечения. Возьмем элемент стержня, заключенный между двумя сечениями, абсциссы которых в состоянии покоя соответственно равны На этот элемент действуют силы натяжения приложенные в этих сечениях, и направленные вдоль оси Результирующая этих сил имеет величину и направлена также вдоль . С другой стороны, ускорение элемента равно вследствие чего мы можем написать равенство где объемная плотность стержня. Положив и сократив на получим дифференциальное уравнение продольных колебаний однородного стержня Форма этого уравнения показывает, что продольные колебания стержня носят волновой характер, причем скорость а распространения продольных волн определяется формулой (4). Если на стержень действует еще внешняя сила рассчитанная на единицу его объема, то вместо (3) получим Это есть уравнение вынужденных продольных колебаний стержня. Как и вообще в динамике, одного уравнения движения (6) недостаточно для полного определения движения стержня. Нужно задать начальные условия, т. е. задать смещения сечений стержня и их скорости в начальный момент времени где и заданные функции в интервале ( Кроме того, должны быть заданы граничные условия на концах стержня. Так, например. > Продольные волны Изучите распространение, направление и скорость продольной волны
: какие волны продольные, как распространяются, примеры и колебания, как возникают, график. Иногда продольные волны именуют волнами сжатия. Колеблются в направлении распространения. Какие волны продольные? Лучше всего в качестве примера подходит звуковая волна. Она вмещает импульсы, выступающие результатом сжатия воздуха. По направлению вибрации продольные волны совпадают с направлением движения. То есть, перемещение среды расположено в той же стороне, что и волновое движение. Некоторые продольные волны именуют также компрессионными. Если хотите провести эксперимент, то просто приобретите игрушку Слинки (пружинка) и подержите ее за оба конца. В момент сжатия и ослабления импульс переместится к концу. Сжатая Слинки – пример продольной волны. Она распространяется в том же направлении, что и колебания
Продольные (как и поперечные) не вытесняют массу. Отличие в том, что каждая частичка в среде, сквозь которую распространяется продольная волна, будут осуществлять колебания вдоль оси распространения. Если вспомнить о Слинки, то катушки колеблются в точках, но не будут смещаться по длине пружинки. Не забывайте, что здесь транспортируется не масса, а энергия в виде импульса. В некоторых случаях такие волны выступают как волны давления. Ярким примером выступает звуковая. Они формируются при сжатии среды (чаще всего, воздух). Продольные звуковые волны – чередование отклонения давления от сбалансированного давления, что приводит к локальным участкам сжатия и разрежения. Материя в среде периодически смещается звуковой волной и осциллирует. Чтобы произвести звук, нужно сжать частички воздуха до определенного количества. Именно так формируются поперечные волны. Уши чувствительно реагируют на различное давление и переводят волны в тона. Под стержнем будем понимать цилиндр П=0х[О, /], когда I»
diamD. Здесь D
- область на координатной плоскости Ох 2 х 3 (рис. 62). Материал стержня однороден и изотропен, а ось Ох, проходит через центр тяжести сечения D.
Поле внешних массовых сил f(r, I)
=/(Х|, /)е, где е, - орт оси Ох,. Пусть внешние поверхностные силы на боковой поверхности цилиндра равны нулю, т.е. Ра
= 0 на dD
х
Тогда из (4.8) следует при 1=0
равенства Собственные формы Х к
(j) удобно нормировать, используя для этого норму пространства /^(), которому принадлежит функция v(s, I),
так как в каждый момент времени существует и ограничен функционал кинетической энергии
где S
- площадь области D.
Имеем X*(s) = Jj-
sin^-л в пространстве скоростей Я 0 = ji)(s, /): v(s,
t)e
В результате получим ортонормированный базис |л г *(^)| , где Ь к „
- символ Кронекера: Функции X k *(s), к=
1,2,суть нормальные формы собственных колебаний, а ю*, к=
1, 2, ..., - собственные частоты колебаний системы с бесконечным числом степеней свободы. В заключение заметим, что функция u(s, /) принадлежит конфигурационному пространству системы Я, = {v(s, t): v(s, t
) е е ^(), и(0,1) = о(1
, /) = 0}, где И^"ОО, / ]) - пространство Соболева функций, суммируемых вместе с квадратами первых производных на отрезке . Пространство Я, есть область определения функционала потенциальной энергии упругих деформаций и содержит обобщенные решения рассматриваемой задачи.
Задача обучения
Основные пункты
Термины
Пример
Продольные волны
