Фестиваль исследовательских и творческих работ учащихся
«Портфолио»
Уравнения и неравенства с двумя переменными
и их геометрическое решение.
Федорович Юлия
ученица 10 класса
МОУ СОШ №26
Руководитель:
Кульпина Е.В.
учитель математики
МОУ СОШ №26
г.Зима, 2007г.
Введение.
2. Уравнения с двумя переменными, их геометрическое решение и применение.
2.1 Системы уравнений.
2.2 Примеры решения уравнений с двумя переменными.
2.3. Примеры решения систем уравнений с двумя переменными.
3. Неравенства и их геометрическое решение.
3.1. Примеры решения неравенств с двумя переменными
4. Графический метод решения задач с параметрами.
5.Заключение.
6.Список использованной литературы.
1.Введение
Я взяла работу на эту тему, потому что изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики, и свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, и порой является единственным средством их решения. Также графический метод решения уравнений позволяет определить число корней уравнения, значения корня, найти приближенные, а иногда точные значения корней.
В технике и физике часто используются именно графическим способом задания функций. Ученый- сейсмолог, анализируя сейсмограмму, узнает, когда было землетрясение, где оно произошло, определяет силу и характер толчков. Врач, исследовавший больного, может по кардиограмме судить о нарушениях сердечной деятельности: изучение кардиограммы помогает правильно поставить диагноз заболевания. Инженер – радиоэлектроник по характеристике полупроводникового элемента выбирает наиболее подходящий режим его работы. Количество таких примеров легко увеличить. Более того, по мере развития математики растет проникновение графического метода в самые различные области жизни человека. В частности, использование функциональных зависимостей и построение графиков широко применяется в экономике. Значит, растет и важность изучения рассматриваемого раздела математики в школе, в вузе, и особенно- важность самостоятельной работы над ним.
С развитием вычислительной техники, с ее прекрасными графическими средствами и высокими скоростями выполнения операций, работа с графиками функций стала значительно интересней, наглядней, увлекательней. Имея аналитическое представление некоторой зависимости, можно построить график быстро, в нужном масштабе и цвете, используя для этого различные программные средства.
Уравнения с двумя переменными и их геометрическое решение.
Уравнение вида f (x ; y )=0 называется уравнением с двумя переменными.
Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел (α, β), при подстановке которой (α – вместо х, β – вместо у) в уравнении имеет смысл выражение f (α; β)=0
Например, для уравнения ((х
+1)) 2 + у
2
=0 упорядоченная пара чисел (0;0) есть его решение, так как выражение ((0+1)
) 2 +0 2 имеет смысл и равно нулю, но упорядоченная пара чисел (-1;0) не является решением, так как не определен 
и поэтому выражение ((-1+1)) 2 +0 2 не имеет смысла.
Решить уравнение – значит найти множество всех его решений.
Уравнения с двумя переменными может:
а) иметь одно решение. Например, уравнение х 2 +у 2 =0 имеет одно решение (0;0);
б) иметь несколько решений. Например, данное уравнение (│х │- 1) 2 +(│у │- 2) 2 имеет четыре решения: (1;2),(-1;2),(1;-2),(-1;-2);
в) не иметь решений. Например уравнение х 2 +у 2 + 1=0 не имеет решений;
г) иметь бесконечно много решений. Например, такое уравнение, как х-у+1=0 имеет бесконечно много решений
Иногда бывает полезной геометрическая интерпретация уравнения f (x ; y )= g (x ; y ) . На координатной плоскости хОу множество всех решений – некоторое множество точек. В ряде случаев это множество точек есть некоторая линия, и в этом случае говорят, что уравнение f (x ; y )= g (x ; y ) есть уравнение этой линии, например:
рис.1 рис.2 рис.3
рис.4 рис.5 рис.6
2.1 Системы уравнений
Пусть заданы два уравнения с неизвестными х и у
F 1 (x ; y )=0 и F 2 (x ; y )=0
Будем считать, что первое из этих уравнений задаёт на плоскости переменных х и у линию Г 1 , а второе - линию Г 2 . Чтобы найти точки пересечения этих линий, надо найти все пары чисел (α, β), такие, что при замене в данных уравнениях неизвестной х на число α и неизвестной у на число β, получаются верные числовые равенства. Если поставлена задача об отыскании всех таких пар чисел, то говорят, что требуется решить систему уравнений и записывают эту систему с помощью фигурной скобки в следующем виде
Решением системы называется такая пара чисел (α, β), которая является решением как первого, так и второго уравнений данной системы.
Решить систему – значить найти множество всех ее решений, или доказать, что решений нет.
В ряде случаев геометрическая интерпретация каждого уравнения системы, ибо решения системы соответствуют точкам пересечения линий, задаваемых каждым уравнением системы. Часто геометрическая интерпретация позволяет лишь догадаться о числе решений.
Например, выясним, сколько решений имеет система уравнений
Первое из уравнений системы задает окружность радиусом R=
c центром (0;0), а второе – параболу, вершина которой находится в той же точке. Теперь ясно, что имеются две точки пересечения этих линий. Следовательно, система имеет два решения – это (1;1) и (-1;1)
Примеры решения уравнений с двумя переменными
Изобразите все точки с координатами (х;у), для которых выполняется равенство.
1. (х-1)(2у-3)=0
Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений
Каждое из полученных уравнений определяет на координатной плоскости прямую.
2. (х-у)(х 2 -4)=0
Решением данного уравнения является множество точек плоскости, координаты, которых удовлетворяют совокупности уравнений
На координатной плоскости решение будет выглядеть так
3. 
=х
2
Решение: Воспользуемся определением абсолютной величины и заменим данное уравнение равносильной совокупностью двух систем
у=х 2 +2х у = -х 2 +2х
х 2 +2х=0 х в =1 у в =1
х(х+2)=0
х в =-1 у в =1-2=-1
Примеры решения систем.
Решить систему графическим способом:
1) 
В каждом уравнении выразим переменную у через х и построим графики соответствующих функций:
у =
+1
а) построим график функции у=
График функции у =+1 получается из графика у = путем сдвига на две единицы вправо и на одну единицу вверх:
у = - 0,5х+2 - это линейная функция, графиком которой является прямая
Решением данной системы являются координаты точки пересечения графиков функций.
Ответ (2;1)
3.Неравенства и их геометрическое решение.
Неравенство с двумя неизвестными можно представить так: f (x ; y ) >0, где Z = f (x ; y ) – функция двух аргументов х и у . Если мы рассмотрим уравнение f (x ; y ) = 0, то можно построить его геометрическое изображение, т.е. множество точек М(х;у), координаты которых удовлетворяют этому уравнению. В каждой из областей функция f сохраняет знак, остается выбрать те из них, в которых f (x ;у) >0.
Рассмотрим линейное неравенство ax + by + c >0. Если один из коэффициентов a или b отличен от нуля, то уравнение ax + by + c =0 задает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости. В каждой из них будет сохраняться знак функции z = ax + by + c . Для определения знака можно взять любую точку полуплоскости и вычислить значение функции z в этой точке.
Например:
3х – 2у +6 >0.
f (x ;у) = 3х- 2у +6,
f (-3;0) = -3 <0,
f (0;0) = 6>0.
Решением неравенства является множество точек правой полуплоскости (закрашенной на рисунке 1)
Рис. 1
Неравенству │y│+0,5 ≤ 
удовлетворяет множество точек плоскости (х;у),
заштрихованной на рисунке 2. Для построения данной области воспользуемся определением абсолютной величины и способами построения графика функции с помощью параллельного переноса графика функции по оси ОХ или ОУ
Р
ис.2
f
(x
;
y
) =
f (0;0) = -1,5<0
f (2;2)= 2,1>0
3.1. Примеры решения неравенств с двумя переменными.
Изобразите множество решений неравенства
а)
у=х 2 -2х
у=|х 2 -2х|
|у|=|х 2 -2х|
f
(x
;
y
)=
f (1;0)=-1<0
f (3;0) = -3<0
f (1;2) =1>0
f (-2;-2) = -6<0
f (1;-2)=1>0
Решением неравенства является закрашенная область на рисунке 3. Для построения данной области применялись способы построения графика с модулем
Рис. 3
1)
2)
<0
f(2;0)=3>0
f(0;2)=-1<0
f(-2;0)=1>0
f(0;-2)=3>0
Для решения данного неравенства воспользуемся определением абсолютной величины
3.2. Примеры решения систем неравенств.
Изобразите множество решений системы неравенств на координатной плоскости
а)
б)
4. Графический метод решения задач с параметрами
Задачами с параметрами называют задачи, в которых участвуют фактически функции нескольких переменных, из которых одна переменная х выбрана в качестве независимой переменной, а оставшиеся играют роль параметров. При решении таких задач особенно эффективны графические методы. Приведем примеры
По рисунку видно, что прямая у=4
пересекает график функции у=
в трех точках. Значит, исходное уравнение имеет три решения при а=
4.
Найти все значения параметра а , при которых уравнение х 2 -6|х|+5=а имеет ровно три различных корня.
Решение: Построим график функции у=х 2 -6х+5 для х ≥0 и отражаем его зеркально относительно оси ординат. Семейство прямых, параллельных оси абсцисс у=а , пересекает график в трех точках при а =5
3. Найти все значения а,
при которых неравенство 
имеет хотя бы одно положительное решение.
Множество точек координатной плоскости, значения координаты х и параметра а которых удовлетворяют данному неравенству, представляют собой объединение двух областей, ограниченных параболами. Решением данного задания является множество точек, расположенных в правой полуплоскости при
х+а+х
<2
Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств
Урок: Уравнения и неравенства с двумя переменными
Рассмотрим в общем виде уравнение и неравенство с двумя переменными.
Уравнение с двумя переменными;
Неравенство с двумя переменными, знак неравенства может быть любым;
Здесь х и у - переменные, р - выражение, от них зависящее
Пара чисел () называется частным решением такого уравнения или неравенства, если при подстановке этой пары в выражение получаем верное уравнение или неравенство соответственно.
Задача состоит в том, чтобы найти или изобразить на плоскости множество всех решений. Можно перефразировать данную задачу - найти геометрическое место точек (ГМТ), построить график уравнения или неравенства.
Пример 1 - решить уравнение и неравенство:
Иначе говоря, задача подразумевает найти ГМТ.
Рассмотрим решение уравнения. В данном случае значение переменной х может быть любым, в связи с этим имеем:
Очевидно, что решением уравнения является множество точек, образующих прямую
Рис. 1. График уравнения, пример 1
Решениями заданного уравнения являются, в частности, точки (-1;0), (0; 1), (х 0 , х 0 +1)
Решением заданного неравенства является полуплоскость, расположенная над прямой , включая саму прямую (см. рисунок 1). Действительно, если взять любую точку х 0 на прямой, то имеем равенство . Если же взять точку в полуплоскости над прямой, имеем . Если мы возьмем точку в полуплоскости под прямой, то она не удовлетворит нашему неравенству: .
Теперь рассмотрим задачу с окружностью и кругом.
Пример 2 - решить уравнение и неравенство:
Мы знаем, что заданное уравнение - это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 1.
Рис. 2. Иллюстрация к примеру 2
В произвольной точке х 0 уравнение имеет два решения: (х 0 ; у 0) и (х 0 ; -у 0).
Решением заданного неравенства является множество точек, расположенных внутри окружности, не учитывая саму окружность (см. рисунок 2).
Рассмотрим уравнение с модулями.
Пример 3 - решить уравнение:
В данном случае можно было бы раскрывать модули, но мы рассмотрим специфику уравнения. Несложно заметить, что график данного уравнения симметричен относительно обеих осей. Тогда если точка (х 0 ; у 0) является решением, то и точка (х 0 ; -у 0) - также решение, точки (-х 0 ; у 0) и (-х 0 ; -у 0) также являются решением.
Таким образом, достаточно найти решение там, где обе переменные неотрицательны, и взять симметрию относительно осей:
Рис. 3. Иллюстрация к примеру 3
Итак, как мы видим, решением уравнения является квадрат.
Рассмотрим так называемый метод областей на конкретном примере.
Пример 4 - изобразить множество решений неравенства:
Согласно методу областей, первым делом рассматриваем функцию, стоящую в левой части, если справа ноль. Это функция от двух переменных:
Аналогично методу интервалов, временно отходим от неравенства и изучаем особенности и свойства составленной функции.
ОДЗ: , значит, ось х выкалывается.
Теперь укажем, что функция равна нулю, когда числитель дроби равен нулю, имеем:
Строим график функции.
Рис. 4. График функции , учитывая ОДЗ
Теперь рассмотрим области знакопостоянства функции, они образованы прямой и ломаной . внутри ломаной находится область D 1 . Между отрезком ломаной и прямой - область D 2 , ниже прямой - область D 3 , между отрезком ломаной и прямой - область D 4
В каждой из выбранных областей функция сохраняет знак, значит достаточно в каждой области проверить произвольную пробную точку.
В области возьмем точку (0;1). Имеем:
В области возьмем точку (10;1). Имеем:
Так, вся область отрицательна и не удовлетворяет заданному неравенству.
В области возьмем точку (0;-5). Имеем:
Так, вся область положительна и удовлетворяет заданному неравенству.
Тема урока: Неравенства с двумя переменными.
Цель урока: Обучать учащихся решению неравенств с двумя переменными.
Задачи урока:
1. Ввести понятие неравенства с двумя переменными. Учить учащихся решению неравенств. Формировать навыки применения графического метода при решении неравенств, умения показать решение на координатной плоскости.
2.Развивать мышление учащихся, развивать практические навыки учащихся.
3.Воспитывать у учащихся трудолюбие, самостоятельность, ответственное отношение к делу, инициативу и самостоятельность принятия решения.
Учебник/литература: Алгебра 9, дидактические материалы.
Ход урока:
1. Понятие неравенства с двумя переменными и его решения.
2. Линейное неравенство с двумя переменными.
Рассмотрим неравенства: 0,5х 2 -2у+l 20 -неравенство с двумя переменными.
Рассмотрим неравенство 0,5х 2 -2у+l
При х=1, у=2. Получим верное неравенство 0,5 1 - 2 2 + 1
Пару чисел (1; 2), в которой на первом месте - значение х, а на втором - значение у, называют решением неравенства 0,5х 2 -2у+l
Определение. Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая данное неравенство в верное числовое неравенство.
Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой. Говорят, что эта фигура задается или описывается неравенством.
Рассмотрим линейные неравенства с двумя переменными.
Определение. Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + by с, где х и у - переменные, а, b и с - некоторые числа.
Если в линейном неравенстве с двумя переменными знак неравенства заменить знаком равенства, то получится линейное уравнение. Графиком линейного уравнения ах + by = с, в котором а или b не равно нулю, является прямая линия. Она разбивает множество не принадлежащих ей точек координатной плоскости на две области, представляющие открытые полуплоскости.
На примерах рассмотрим, как изображается множество решений неравенства с двумя переменными на координатной плоскости.
Пример 1. Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства 2у+3х≤6.
Строим прямую 2у+3х=6, у=3-1,5х
Прямая разбивает множество всех точек координатной плоскости на точки, расположенные ниже ее, и точки, расположенные выше ее. Возьмем из каждой области по контрольной точке: А(1;1), В(1;3).
Координаты точки А удовлетворяют данному неравенству 2у+3х≤6, 2·1+3·1≤6, 5≤6
Координаты точки В не удовлетворяют данному неравенству 2у+3х≤6, 2·3+3·1≤6.
Данному неравенству удовлетворяет множество точек той области, где расположена точка А. Заштрихуем эту область. Мы изобразили множество решений неравенства 2у+3х≤6.
Для изображения множества решений неравенства на координатной плоскости поступают следующим образом:
1. Строим график функции y = f(x), который разбивает плоскость на две области.
2. Выбираем любую из полученных областей и рассматриваем в ней произвольную точку. Проверяем выполнимость исходного неравенства для этой точки. Если в результате проверки получается верное числовое неравенство, то заключаем, что исходное неравенство выполняется во всей области, которой принадлежит выбранная точка. Таким образом, множеством решений неравенства – область, которой принадлежит выбранная точка. Если в результате проверки получается неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.
3. Если неравенство строгое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), не включают в множество решений и границу изображают пунктиром. Если неравенство нестрогое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), включают в множество решений данного неравенства и границу в таком случае изображают сплошной линией.
Вывод: - решением неравенства f(x,y)˃0, }
