При оценки вероятности наступления какого-либо случайного события очень важно предварительно хорошо представлять, зависит ли вероятность (вероятность события) наступления интересующего нас события от того, как развиваются остальные события. В случае классической схемы, когда все исходы равновероятны, мы уже можем оценить значения вероятности интересующего нас отдельного события самостоятельно. Мы можем сделать это даже в том случае, если событие является сложной совокупностью нескольких элементарных исходов. А если несколько случайных событий происходит одновременно или последовательно? Как это влияет на вероятность реализации интересующего нас события? Если я несколько раз кидаю игральную кость, и хочу, чтобы выпала "шестерка", а мне все время не везет, значит ли это, что надо увеличивать ставку, потому что, согласно теории вероятностей, мне вот-вот должно повезти? Увы, теория вероятности не утверждает ничего подобного. Ни кости, ни карты, ни монетки не умеют запоминать, что они продемонстрировали нам в прошлый раз. Им совершенно не важно, в первый раз или в десятый раз сегодня я испытываю свою судьбу. Каждый раз, когда я повторяю бросок, я знаю только одно: и на этот раз вероятность выпадения "шестерки" снова равна одной шестой. Конечно, это не значит, что нужная мне цифра не выпадет никогда. Это означает лишь то, что мой проигрыш после первого броска и после любого другого броска - независимые события. События А и В называются независимыми, если реализация одного из них никак не влияет на вероятность другого события. Например, вероятности поражения цели первым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события "первое орудие поразило цель" и "второе орудие поразило цель" независимы. Если два события А и В независимы, и вероятность каждого из них известна, то вероятность одновременного наступления и события А, и события В (обозначается АВ) можно посчитать, воспользовавшись следующей теоремой.
Теорема умножения вероятностей для независимых событий
P(AB) = P(A)*P(B) вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Пример 1 . Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р 1 = 0,7; р 2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе обоими орудиями одновременно.
как мы уже видели события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы, т.е. Р(АВ)=Р(А)*Р(В)=р1*р2=0,56. Что произойдет с нашими оценками, если исходные события не являются независимыми? Давайте немного изменим предыдущий пример.
Пример 2. Два стрелка на соревнованиях стреляют по мишеням, причем, если один из них стреляет метко, то соперник начинает нервничать, и его результаты ухудшаются. Как превратить эту житейскую ситуацию в математическую задачу и наметить пути ее решения? Интуитивно понятно, что надо каким-то образом разделить два варианта развития событий, составить по сути дела два сценария, две разные задачи. В первом случае, если соперник промахнулся, сценарий будет благоприятный для нервного спортсмена и его меткость будет выше. Во втором случае, если соперник прилично реализовал свой шанс, вероятность поразить мишень для второго спортсмена снижается. Для разделения возможных сценариев (их часто называют гипотезами) развития событий мы будем часто использовать схему "дерева вероятностей". Эта схема похожа по смыслу на дерево решений, с которым Вам, наверное, уже приходилось иметь дело. Каждая ветка представляет собой отдельный сценарий развития событий, только теперь она имеет собственное значение так называемой условной вероятности (q 1 , q 2 , q 1 -1, q 2 -1).
Эта схема очень удобна для анализа последовательных случайных событий. Остается выяснить еще один немаловажный вопрос: откуда берутся исходные значения вероятностей в реальных ситуациях? Ведь не с одними же монетами и игральными костями работает теория вероятностей? Обычно эти оценки берутся из статистики, а когда статистические сведения отсутствуют, мы проводим собственное исследование. И начинать его нам часто приходится не со сбора данных, а с вопроса, какие сведения нам вообще нужны.
Пример 3. Допустим, нам надо оценить в городе с населением в сто тысяч жителей объем рынка для нового товара, который не является предметом первой необходимости, например, для бальзама по уходу за окрашенными волосами. Рассмотрим схему "дерева вероятностей". При этом значение вероятности на каждой "ветке" нам надо приблизительно оценить. Итак, наши оценки емкости рынка:
1) из всех жителей города женщин 50%,
2) из всех женщин только 30% красят волосы часто,
3) из них только 10% пользуются бальзамами для окрашенных волос,
4) из них только 10% могут набраться смелости попробовать новый товар,
5) из них 70% обычно покупает все не у нас, а у наших конкурентов.
По закону перемножения вероятностей, определяем вероятность интересующего нас события А ={житель города покупает у нас этот новый бальзам}=0,00045. Умножим это значение вероятности на число жителей города. В результате имеем всего 45 потенциальных покупательниц, а если учесть, что одного пузырька этого средства хватает на несколько месяцев, не слишком оживленная получается торговля. И все-таки польза от наших оценок есть. Во-первых, мы можем сравнивать прогнозы разных бизнес-идей, на схемах у них будут разные "развилки", и, конечно, значения вероятности тоже будут разные. Во-вторых, как мы уже говорили, случайная величина не потому называется случайной, что она совсем ни от чего не зависит. Просто ее точное значение заранее не известно. Мы знаем, что среднее количество покупателей может быть увеличено (например, с помощью рекламы нового товара). Так что имеет смысл сосредоточить усилия на тех "развилках", где распределение вероятностей нас особенно не устраивает, на тех факторах, на которые мы в состоянии повлиять. Рассмотрим еще один количественный пример исследования покупательского поведения.
Пример 3. За день продовольственный рынок посещает в среднем 10000 человек. Вероятность того, что посетитель рынка заходит в павильон молочных продуктов, равна 1/2. Известно, что в этом павильоне в среднем продается в день 500 кг различных продуктов. Можно ли утверждать, что средняя покупка в павильоне весит всего 100 г?
Обсуждение.
Конечно, нельзя. Понятно, что не каждый, кто заходил в павильон, в результате что-то там купил.
Как показано на схеме, чтобы ответить на вопрос о среднем весе покупки, мы должны найти ответ на вопрос, какова вероятность того, что человек, зашедший в павильон, что-нибудь там купит. Если таких данных в нашем распоряжении не имеется, а нам они нужны, придется их получить самим, понаблюдав некоторое время за посетителями павильона. Допустим, наши наблюдения показали, что только пятая часть посетителей павильона что-то покупает. Как только эти оценки нами получены, задача становится уже простой. Из 10000 человек, пришедших на рынок, 5000 зайдут в павильон молочных продуктов, покупок будет только 1000. Средний вес покупки равен 500 грамм. Интересно отметить, что для построения полной картины происходящего, логика условных "ветвлений" должна быть определена на каждом этапе нашего рассуждения так же четко, как если бы мы работали с "конкретной" ситуацией, а не с вероятностями.
Задачи для самопроверки.
1. Пусть есть электрическая цепь, состоящая из n последовательно соединенных элементов, каждый из которых работает независимо от остальных. Известна вероятность p невыхода из строя каждого элемента. Определите вероятность исправной работы всего участка цепи (событие А).
2. Студент знает 20 из 25 экзаменационных вопросов. Найдите вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.
3. Производство состоит из четырех последовательных этапов, на каждом из которых работает оборудование, для которого вероятности выхода из строя в течение ближайшегомесяца равны соответственно р 1 , р 2 , р 3 и р 4 . Найдите вероятность того, что за месяц не случится ни одной остановки производства из-за неисправности оборудования.
Краткая теория
Для количественного сравнения событий по степени возможности их появления вводится числовая мера, которая называется вероятностью события. Вероятностью случайного события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.
Величины, определяющие, насколько значительны объективные основания рассчитывать на появление события, характеризуются вероятностью события. Необходимо подчеркнуть, что вероятность есть объективная величина, существующая независимо от познающего и обусловленная всей совокупностью условий, которые способствуют появлению события.
Объяснения, которые мы дали понятию вероятности, не являются математическим определением, так как они не определяют это понятие количественно. Существует несколько определений вероятности случайного события, которые широко применяются при решении конкретных задач (классическое, геометрическое определение вероятности , статистическое и т. д.).
Классическое определение вероятности события сводит это понятие к более элементарному понятию равновозможных событий, которое уже не подлежит определению и предполагается интуитивно ясным. Например, если игральная кость - однородный куб, то выпадения любой из граней этого куба будут равновозможными событиями.
Пусть достоверное событие распадается на равновозможных случаев , сумма которых дает событие . То есть случаи из , на которые распадается , называются благоприятствующими для события , так как появление одного из них обеспечивает наступление .
Вероятность события будем обозначать символом .
Вероятность события равна отношению числа случаев , благоприятствующих ему, из общего числа единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу , т. е.
Это есть классическое определение вероятности. Таким образом, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, найти совокупность единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев, подсчитать общее их число n, число случаев m, благоприятствующих данному событию, и затем выполнить расчет по вышеприведенной формуле.
Вероятность события, равная отношению числа благоприятных событию исходов опыта к общему числу исходов опыта называется классической вероятностью случайного события.
Из определения вытекают следующие свойства вероятности:
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Свойство 4. Вероятность наступления событий, образующих полную группу, равна единице.
Свойство 5. Вероятность наступления противоположного события определяется так же, как и вероятность наступления события A.
Число случаев, благоприятствующих появлению противоположного события . Отсюда вероятность наступления противоположного события равна разнице между единицей и вероятностью наступления события A:
Важное достоинство классического определения вероятности события состоит в том, что с его помощью вероятность события можно определить, не прибегая к опыту, а исходя из логических рассуждений.
При выполнении комплекса условий достоверное событие обязательно произойдет, а невозможное обязательно не произойдет. Среди событий, которые при создании комплекса условий могут произойти, а могут не произойти, на появление одних можно рассчитывать с большим основанием, на появление других с меньшим основанием. Если, например, в урне белых шаров больше, чем черных, то надеяться на появление белого шара при вынимании из урны наудачу больше оснований, чем на появление черного шара.
На соседней странице рассматривается .
Пример решения задачи
Пример 1
В ящике находится 8 белых, 4 черных и 7 красных шаров. Наудачу извлечены 3 шара. Найти вероятности следующих событий: – извлечен по крайней мере 1 красный шар, – есть по крайней мере 2 шара одного цвета, – есть по крайней мере 1 красный и 1 белый шар.
Решение задачи
Общее число исходов испытания найдем как число сочетаний из 19 (8+4+7) элементов по 3:
Найдем вероятность события – извлечен по крайней мере 1 красный шар (1,2 или 3 красных шара)
Искомая вероятность:
Пусть событие – есть по крайней мере 2 шара одного цвета (2 или 3 белых шара, 2 или 3 черных шара и 2 или 3 красных шара)
Число исходов, благоприятствующих событию:
Искомая вероятность:
Пусть событие – есть по крайней мере один красный и 1 белый шар
(1 красный, 1 белый, 1 черный или 1 красный, 2 белых или 2 красных, 1 белый)
Число исходов, благоприятствующих событию:
Искомая вероятность:
Ответ: P(A)=0.773;P(C)=0.7688; P(D)=0.6068
Пример 2
Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков не меньше 5.
Решение
Пусть событие – сумма очков не меньше 5
Воспользуемся классическим определением вероятности:
Общее число возможных исходов испытания
Число испытаний, благоприятствующих интересующему нас событию
На выпавшей грани первого игрального кубика может появиться одно очко, два очка…, шесть очков. Аналогично шесть исходов возможны при бросании второго кубика. Каждый из исходов бросания первой кости может сочетаться с каждым из исходов второй. Таким образом, общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу размещений с повторениями (выбор с размещениями 2 элементов из совокупности объема 6):
Найдем вероятность противоположного события – сумма очков меньше 5
Благоприятствовать событию будут следующие сочетания выпавших очков:
| № | 1-я кость | 2-я кость | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 4 | 3 | 1 | 5 | 1 | 3 |
На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Онлайн-помощь на экзамене/зачете осуществляется по предварительной записи.
Заявку можно оставить прямо в чате, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.
Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности случайных событий. Вероятностным экспериментом (испытанием, наблюдением) называется эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. В данном эксперименте любой его результат (исход) является событием.
Событие может быть достоверным (всегда происходит в результате испытания); невозможным (заведомо не происходит при испытании); случайным (может произойти или не произойти в условиях данного эксперимента).
Событие, которое нельзя разбить на более простые события, называется элементарным. Событие, представленное в виде совокупности нескольких элементарных событий, называется сложным (фирма не понесла убытки – прибыль может быть положительной либо равной нулю).
Два события, которые не могут происходить одновременно (увеличение налогов – рост располагаемого дохода; увеличение объема инвестиций – снижение уровня риска), называются несовместными.
Иными словами, два события несовместны, если появление одного из них исключает появление другого. В противном случае они являются совместными (увеличение объема продаж – увеличение прибыли). События называются противоположными, если одно из них происходит тогда и только тогда, когда не происходит другое (товар реализован – товар не реализован).
Вероятность события – это численная мера, которая вводится для сравнения событий по степени возможности их появления.
Классическое определение вероятности. Вероятностью Р (А ) события А называется отношение числа m равновозможных элементарных событий (исходов), благоприятствующих появлению события А , к общему числу n всех возможных элементарных исходов данного эксперимента:
Из вышеизложенного вытекают следующие основные свойства вероятности:
1. 0 £ Р (А ) £ 1.
2. Вероятность достоверного события А равна 1: Р (А ) = 1.
3. Вероятность невозможного события А равна 0: Р (А ) = 0.
4. Если события А и В несовместны, то Р (А + В ) = Р (А ) + Р (В ); если же события А и В совместны, то Р (А + В ) = Р (А ) + Р (В ) - Р (А . B). (Р (А . B) – вероятность совместного появления этих событий).
5. Если А и противоположные события, то Р () = 1 - Р (А ).
Если вероятность осуществления одного события не изменяет вероятности появления другого, то такие события называются независимыми.
При непосредственном вычислении вероятностей событий, характеризующихся большим числом исходов, следует пользоваться формулами комбинаторики . Для исследования группы событий (гипотез)
применяются формулы полной вероятности, Бейеса и Бернулли (n независимых испытаний – повторение опытов) .
При статистическом определении вероятности события А под n понимается полное число фактически проведенных испытаний, в которых событие А встретилось ровно m раз. В этом случае отношение m /n называется относительной частотой (частостью) W n (A ) появления события А в n произведенных испытаниях.
При определении вероятности по методу экспертных оценок под n понимается количество экспертов (специалистов в данной области), опрашиваемых на предмет возможности осуществления события А . При этом m из них утверждают, что событие А произойдет.
Понятия случайного события недостаточно для описания результатов наблюдений величин, имеющих числовое выражение. Например, при анализе финансового результата предприятия в первую очередь интересуются его размерами. Поэтому понятие случайного события дополняется понятием случайной величины.
Под случайной величиной (СВ) понимается величина, которая в результате наблюдения (испытания) принимает одно из возможного множества своих значений, заранее неизвестное и зависящее от случайных обстоятельств. Для каждого элементарного события СВ имеет единственное значение.
Различают дискретные и непрерывные СВ. Для дискретной СВ множество ее возможных значений конечно или счетно, т. е. СВ принимает отдельные изолированные значения, которые могут быть заранее перечислены, с определенными вероятностями. Для непрерывной СВ множество ее возможных значений бесконечно и несчетно, например, все числа данного интервала, т.е. возможные значения СВ не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток.
Примеры случайных величин: Х - ежедневное число покупателей в супермаркете (дискретная СВ); Y - число детей, родившихся в течение суток в определенном административном центре (дискретная СВ); Z - координата точки попадания артиллерийского снаряда (непрерывная СВ).
Многие СВ, рассматриваемые в экономике, имеют настолько большое число возможных значений, что их удобнее представлять в виде непрерывных СВ. Например, курсы валют, доход населения и т. п.
Для описания СВ необходимо установить соотношение между всеми возможными значениями СВ и их вероятностями. Такое соотношение будет называться законом распределения СВ . Для дискретной СВ его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) либо графически. Например, таблично для СВ Х
Если вас интересует вопрос заголовка, вы наверняка студент или школьник, столкнувшийся с новым для себя предметом. Задачи теории вероятностей сейчас решают и школьники пятых классов продвинутых школ, и старшеклассники перед ЕГЭ, и студенты буквально всех специальностей — от географов до математиков. Что же это за предмет такой, и как к нему подойти?
Вероятность. Что это?
Теория вероятностей , как следует из названия, имеет дело с вероятностями. Нас окружают множество вещей и явлений, о которых, как бы ни была развита наука, нельзя сделать точных прогнозов. Мы не знаем, какую карту вытянем из колоды наугад или сколько дней в мае будет идти дождь, но, имея некоторую дополнительную информацию, можем строить прогнозы и вычислять вероятности этих случайных событий.
Таким образом, мы сталкиваемся с основным понятием случайного события — явления, поведение которого невозможно предсказать, опыта, результат которого заранее невозможно вычислить и т.п. Именно вероятности событий вычисляются в типовых задачах. Вероятность — это некоторая, строго говоря, функция, принимающая значения от 0 до 1 и характеризующая данное случайное событие. 0 — событие практически невозможно, 1 — событие практически достоверно, 0,5 (или «50 на 50») — с равной вероятностью событие произойдет или нет.
Алгоритм решения типовых задач на нахождение вероятности
Подробнее с основами теории вероятностей можно ознакомиться, например, в онлайн учебнике. А теперь не будем ходить вокруг да около, и сформулируем примерную схему , по которой следует решать стандартные учебные задачи на вычисление вероятности случайного события, а затем ниже на примерах проиллюстрируем ее применение.
- Внимательно прочитать задачу и понять, что именно происходит (что из какого ящика вытаскивается, что где лежало, сколько приборов работает и т.п.)
- Найти основной вопрос задачи вроде «вычислить вероятность того, что …» и вот это многоточие записать в виде события, вероятность которого надо найти.
- Событие записано. Теперь надо понять, к какой «схеме» теории вероятностей относится задача, чтобы правильно выбрать формулы для решения.
Вероятность
Ответьте на тестовые вопросы типа:
- происходит одно испытание (например, выбрасывание двух костей) или несколько (например, проверка 10 приборов);
- если испытаний несколько, зависимы ли результаты одного от других (зависимость или независимость событий);
- событие происходит в единственной ситуации или задача говорит о нескольких возможных гипотезах (например, шар вынимается из любого ящика из трех, или из конкретного).
Чем больше опыт решения задач, тем легче будет определить, какие формулы подходят.
- Выбрана формула (или несколько) для решения. Записываем все данные задачи и подставляем в данную формулу.
- Вуаля, вероятность найдена.
Готовые решения задач по любым разделам теории вероятностей, более 10000 примеров! Найди свою задачу:
Как решать задачи: классическая вероятность
Пример 1. В группе из 30 студентов на контрольной работе 6 студентов получили «5», 10 студентов – «4», 9 студентов – «3», остальные – «2». Найти вероятность того, что 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2».
Начинаем решение по пунктам, описанным выше.
- В задаче речь идет о выборе 3 студентов из группы, которые удовлетворяют определенным условиям.
- Вводим основное событие $X$ = (Все 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2»).
- Так как в задаче происходит только одно испытание и оно связано с отбором/выбором по определенному условию, речь идет о классическом определении вероятности. Запишем формулу: $P=m/n$, где $m$ – число исходов, благоприятствующих осуществлению события $X$, а $n$ – число всех равновозможных элементарных исходов.
- Теперь необходимо найти значения $m$ и $n$ для этой задачи. Сначала найдем число всех возможных исходов — число способов выбрать 3 студентов из 30. Так как порядок выбора не имеет значения, это число сочетаний из 30 по 3: $$n=C_{30}^3=\frac{30!}{3!27!}=\frac{28\cdot 29 \cdot 30}{1\cdot 2 \cdot 3}=4060.$$ Найдем число способов вызвать только студентов, получивших «2». Всего таких студентов было $30-6-10-9=5$ человек, поэтому $$m=C_{5}^3=\frac{5!}{3!2!}=\frac{4 \cdot 5}{1\cdot 2}=10.$$
- Получаем вероятность: $$P(X)=\frac{m}{n}=\frac{10}{4060}=0,002.$$ Задача решена.
Еще примеры: Решенные задачи на классическое определение вероятности.
Как решать задачи: формула Бернулли
Пример 2. Какова вероятность того, что при 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз?
Снова по схеме решения задач на вероятность рассматриваем данную задачу:
- В задаче идет речь о серии одинаковых испытаний — бросаний монеты.
- Вводим основное событие $X$ = (При 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз).
- Так как в задаче происходит несколько испытаний, и вероятность появления события (герба) одинакова в каждом испытании, речь идет о схеме Бернулли. Запишем формулу Бернулли, которая описывает вероятность того, что из $n$ бросков монет герб выпадет ровно $k$ раз: $$ P_{n}(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$$
- Записываем данные из условия задачи: $n=8, p=0,5$ (вероятность выпадения герба в каждом броске равна 0,5) и $k=5$
- Подставляем и получаем вероятность: $$ P(X)=P_{8}(5)=C_8^5 \cdot 0,5^5 \cdot (1-0,5)^{8-5}=\frac{8!}{5!3!}\cdot 0,5^8=\frac{6\cdot 7 \cdot 8}{1\cdot 2 \cdot 3} \cdot 0,5^8= 0,219.$$ Задача решена.
Еще примеры: Решенные задачи на формулу Бернулли, решебник задач по теории вероятности.
И это все? Конечно, нет.
Выше мы упомянули только малую часть тем и формул теории вероятностей, для более подробного изучения вы можете посмотреть учебник онлайн на данном сайте (или скачать классические учебники по ТВ), ознакомиться со статьями по решению вероятностных задач, бесплатными примерами, воспользоваться онлайн калькуляторами. Удачи!
Спасибо, что читаете и делитесь с другими
Другие полезные статьи по теории вероятностей
Статьи о решении математических задач
Наблюдение явления, опыт, эксперимент, которые можно провести многократно, в теории вероятностей принято называть испытанием . Результат, исход испытания называется событием .
Пример 1 . Сдача экзамена — это испытание; получение определенной отметки — событие. Выстрел — это испытание; попадание в определенную область мишени — событие. Бросание игрального кубика — это испытание; появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости — событие.
Виды случайных событий
События называются несовместными , если появление одного из них исключает появления других событий в одном и том же испытании.
Пример 2 :
- несовместные события : день и ночь, человек читает и человек спит, число иррациональное и четное;
- совместные события : идет дождь и идет снег, человек ест и человек читает, число целое и четное.
Несколько событий образуют полную группу (пространство исходов) , если в результате испытания появиться хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.
Пример 3 .
Урок алгебры » Случайные события. Вероятность случайного события.»
При сдаче зачета возможны следующие исходы: «зачтено», «не зачтено», «не явился»; при подбрасывании монеты – «орел», «решка».
Пример 4 . Пусть в урне содержится 6 одинаковых шаров, причем 2 из них — красные, 3 — синие и 1 — белый. Какова возможность вынуть наудачу из урны цветной шар? Можно ли охарактеризовать эту возможность числом?
Оказывается можно. Это число и называется вероятностью события А (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события .
Каждый из возможных результатов испытания (в примере 4, испытание состоит в извлечении шара из урны) называется элементарным исходом .
Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими этому событию. В примере 4 благоприятствуют событию А (появление цветного шара) 5 исходов.
События называются равновозможными , если есть основания считать, что не одно из них не является более возможным, чем другое.
Пример 5 . Появление того или иного числа очков на брошенном игральном кубике – равновозможные события.
Вероятностью P(A) события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
Вероятность P(A) события А определяется по формуле
где m – число элементарных исходов, благоприятствующих A ; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.
В примере 4 всего элементарных исходов 6 ; из них 5 благоприятствуют событию А . Следовательно, вероятность того что взятый шар окажется цветным, равна P(A) = 5/6 .
Пример 6 . Определить вероятность выпадения нечётного числа очков на кости.
Решение. При бросании кости событие A – «выпало нечётное число очков» можно записать как подмножество {1, 3, 5} пространства исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6} (рис. 1).
Число всех равновозможных исходов n = 6, а число благоприятных событию A – m = 3. Следовательно,
Пример 7 . В урне находится 7 шаров: 2 белых, 4 черных и 1 красный. Вынимается один шар наугад. Какова вероятность того, что вынутый шар будет чёрным?
Решение. Занумеруем шары. Пусть, например, шары с номерами 1 и 2 – белые, с номерами 3, 4, 5 и 6 – чёрные, а красному шару присвоим номер 7 .
Так как мы можем вынуть только один из семи шаров, то общее число равновозможных исходов равно семи (n = 7 ). Из них 4 исхода – появление шаров с номерами 3, 4, 5 и 6 – приведут к тому, что вынутый шар будет чёрным (m = 4 ). Тем самым, вероятность события А , состоящего в появлении чёрного шара, равна
Вычислите вероятность того, что вынутый шар будет белым.
Пример 8 .
Вычислить вероятность выпадения в сумме 10 очков при бросании пары костей.
Решение.
Рассмотрим все равновозможные исходы в результате бросания двух костей (их число равно 36
— рекомендуем записать в виде таблицы). Выпадение в сумме 10
очков (событие А
) возможно в трёх случаях – 4
очка на первой кости и 6
на второй, 5
очков на первой и 5
на второй, 6
очков на первой и 4
на второй. Поэтому вероятность события А (выпадения в сумме 10
очков) равна 
Свойство 1 . Вероятность достоверного события А равна единице: Р(А) = 1 .
Свойство 2 . Вероятность невозможного события А равна нулю: Р(А) = 0 .
Свойство 3 . Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей :
0 £ P (A) £ 1.
Пример 9 . Так как вероятность выпадения 13 очков при бросании пары костей – невозможное событие, его вероятность равна нулю .
Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. Кроме этого, часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. По этой причине, наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения, в частности статистическое определение .
Статистическое определение вероятности
Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит к основным понятиям теории вероятностей.
Относительной частотой события А называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний:
где m – число появлений события А , n – общее число испытаний.
Классическая вероятность вычисляется до опыта, а относительная частота – после опыта .
Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости .
Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Это постоянное число и есть вероятность появления события.
Таким образом, при достаточно большом количестве испытаний в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней.
Пример 10
. Естествоиспытатель К. Пирсон терпеливо подбрасывал монету и после каждого бросания не ленился записывать полученный результат. Проделав эту операцию 24 000 раз, он обнаружил, что герб выпадал в 12 012 случаях. Вычисляя относительную частоту выпадения герба, он получил 
, что практически равно 1/2.
Многих интересует вопрос: возможно ли повлиять на случайные события, выявить какую-либо закономерность событий, получить тот результат, который желателен. Все явления, которые окружают нас, происходят и изменяются с какой-то долей случайности, неопределенности.
Со случайными событиями мы встречаемся чаще, чем это принято считать. Случайные факторы лежат в основе окружающей среды, экономики, политики, социальной и общественной жизни, они определяют течение любого процесса массового обслуживания - торговли, телефонной связи, транспортных услуг и медицинской помощи. Задача управления различного рода процессами, которая наиболее остро стоит перед современным обществом, состоит в том, чтобы научиться ориентироваться в мире случайностей и активно действовать, опираясь на скрытые специфические закономерности.
Все явления окружающей нас действительности можно рассматривать с точки зрения вероятности их наступления. Когда студент идет на экзамен, вероятность получения им хорошей оценки зависит от нескольких причин: подготовленности студента, удачно выбранного билета, самочувствия, настроя.
Экономиста может интересовать вероятность того, что цены на товар не вырастут, если не снизится объем его производства, или вероятность того, что застрахованный автомобиль не попадет в аварию.
Все эти события являются случайными и могут наступить или нет с некоторой долей неопределенности. Количественной мерой такой неопределенности является вероятность наступления случайного события, под которой понимают число, которое выражает степень уверенности в наступлении того или иного случайного события.
Случайными событиями называют возможные результаты единичной операции, или испытания .
Под испытанием следует понимать процесс, включающий в себя определенные условия и приводящий к одному из нескольких возможных исходов .
Например: испытание - бросание монеты, случайное событие - выпадение герба. Испытание - рождение ребенка, случайное событие - пол ребенка - мужской.
Исходом опыта может быть результат наблюдения, измерения, оценки.
Случайное событие может состоять из нескольких элементарных событий.
Единичный, отдельный исход испытания называется элементарным событием.
Событие называется случайным, если в результате испытания (опыта) оно может произойти, а может и не произойти.
Например, стрелок, производящий выстрел, может попасть или не попасть в цель. В этом случае испытание - это выстрел, а возможные элементарные исходы - попадание или непопадание в цель. Футбольная команда может участвовать в матче - это испытание, в результате которого могут наступить исходы, или элементарные события: выигрыш, проигрыш или ничья.
Оценка студента на экзамене - это случайное событие, которое состоит из элементарных событий: получение оценки «отлично», получение оценки «хорошо», получение оценки «удовлетворительно», получение оценки «неудовлетворительно».
Элементарные события можно классифицировать по мере их неопределенности как достоверные, невозможные и случайные.
Достовернымназывают событие, которое обязательно произойдет при определенном комплексе условий .
Например, если в ящике находятся только стандартные детали, то извлечение из него стандартной детали есть событие достоверное. Достоверным является и то, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Событие, которое не может произойти в результате данного испытания, называется невозможным .
Если в ящике все детали стандартные, то извлечение из него нестандартной детали есть событие невозможное. Квадрат вещественного числа не может быть отрицательным. Достоверные и невозможные события, вообще говоря, не являются случайными.
Случайные события. Вероятность (стр. 1)
Фундаментом для научного подхода к поиску ответов на вопросы подобного рода является теория вероятностей.
Зарождение теории вероятностей и формирование первых понятий этой ветви математики произошло в середине 17 века, когда Паскаль, Ферма, Бернулли попытались осуществить анализ задач связанных с азартными играми новыми методами. Скоро стало ясно, что возникающая теория найдет широкий круг применения для решения многих задач возникающих в различных сферах деятельности человека .
Производя достаточно большое количество опытов или испытаний, можно определить, как часто появляется событие, и вычислить вероятность его наступления. Вероятность, определенную таким образом, называют статистической или послеопытной. В некоторых случаях можно определить доопытную вероятность, которую называют классической.
Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элементарных исходов. Обозначим число благоприятствующих событию А исходов через М, а число всех возможных исходов N. тогда для определения вероятности можно использовать формулу Р (А) = М/N .
Я провела эксперимент: попробовала вытащить из 15 шариков, 2 из которых красные, остальные зеленые, произвольным образом 2 шарика. Пыталась определить вероятность того, что оба шарика окажутся красными; оба шарика будут зелеными; один шарик будет красный, другой зеленый.
Предположенный перед проведением эксперимента результат оправдался: наиболее возможным исходом является вытаскивание 2 зеленых шариков, наименее возможным исходом является вытаскивание 2 красных шариков.
При сравнении практической и теоретической вероятности, обнаружилось довольно большое расхождение, причиной которого является малое количество проведенных испытаний.
Для получения более точного результата желательно проводить как можно больше испытаний, рассматривать всевозможные исходы испытаний и благоприятные исходы. Не забывать, что проверить это всегда можно и теоретически. При этом вероятности до проведения опыта и после проведения должны совпадать.
Проведя исследование по данному вопросу, я пришла к выводу: теория вероятности не влияет на случайные события, она только позволяет выяснить степень его наступления, а вероятность, посчитанная во время эксперимента, тем точнее, чем больше проведено испытаний.
Литература:
- Кибзун А. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами / А. И. Кибзун. - М.: Физматлит, 2002. - 224 с.
- Кочетков Е. С., Смерчинская С. О., Соколов В. В. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2006. - 240 с.
- Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. - М.: Айрис-пресс, 2007. - 288 с.
Спасибо, что читаете и делитесь с другими
Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.
Событие называется достоверным , если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.
Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.
Случайные события образуют полную группу , если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.
Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события $А$, если появление этого события влечет за собой появление события $А$.
Пример. В урне находится 8 пронумерованных шаров (на каждом шаре поставлено по одной цифре от 1 до 8).
Шары с цифрами 1, 2, 3 красные, остальные – черные. Появление шара с цифрой 1 (или цифрой 2 или цифрой 3) есть событие, благоприятствующее появлению красного шара. Появление шара с цифрой 4 (или цифрой 5, 6, 7, 8) есть событие, благоприятствующее появлению черного шара.
Вероятностью события $A$ называют отношение числа $m$ благоприятствующих этому событию исходов к общему числу $n$ всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу $$P(A)=\frac{m}{n}. \quad(1)$$
Свойство 1.
Вероятность достоверного события равна единице
Свойство 2.
Вероятность невозможного события равна нулю.
Свойство 3.
Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству $0 \le P(A) \le 1$ .
Онлайн-калькуляторы
Большой пласт задач, решаемых с помощью формулы (1) относится к теме гипергеометрической вероятности. Ниже по ссылкам вы можете найти описание популярных задач и онлайн-калькуляторы для их решений:
- Задача про шары (в урне находится $k$ белых и $n$ черных шаров, вынимают $m$ шаров…)
- Задача про детали (в ящике находится $k$ стандартных и $n$ бракованных деталей, вынимают $m$ деталей…)
- Задача про лотерейные билеты (в лотерее участвуют $k$ выигрышных и $n$ безвыигрышных билета, куплено $m$ билетов…)
Примеры решений задач на классическую вероятность
Пример. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 10?
Решение. Пусть событие А = (Номер вынутого шара не превосходит 10). Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу всех возможных случаев m =n =10. Следовательно, Р (А )=1. Событие А достоверное .. Количество элементарных исходов (количество карт) .
Искомая вероятность 
.
Формулы по теории вероятности онлайн
В данном разделе вы найдете формулы по теории вероятностей в онлайн-варианте (скачать можно на странице Таблицы и формулы по теории вероятностей). Если слово подчеркнуто, щелкнув на ссылке, вы перейдете к подробному описанию термина, примерам или вычислению на онлайн-калькуляторе. Используйте эти возможности!
А также для изучения тервера у нас есть:
Спасибо, что читаете и делитесь с другими
I. Случайные события. Основные формулы онлайн
1. Основные формулы комбинаторики
Число перестановок $$P_n = n!
Учебник по теории вероятностей
1\cdot 2 \cdot 3 \cdot … \cdot (n-1) \cdot n$$
Число размещений $$A_m^n = n \cdot (n-1) \cdot … \cdot (n-m+1)$$
Число сочетаний $$C_n^m =\frac{A_n^m}{P_m}=\frac{n!}{m! \cdot (n-m)!}$$
2. Классическое определение вероятности
$$P(A) = \frac{m}{n},$$ где $m$ — число благоприятствующих событию $A$ исходов, $n$ — число всех элементарных равновозможных исходов.
Подробнее о классической вероятности см. в онлайн-учебнике и калькуляторах решений.
3. Вероятность суммы событий
Теорема сложения вероятностей несовместных событий:
$$ P(A+B) = P(A)+P(B) $$
Теорема сложения вероятностей совместных событий:
$$ P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB) $$
Примеры решений и теория по алгебре событий тут.
4. Вероятность произведения событий
Теорема умножения вероятностей независимых событий:
$$ P(A\cdot B) =P(A)\cdot P(B) $$
Теорема умножения вероятностей зависимых событий:
$$ P(A\cdot B) =P(A)\cdot P(B|A),\\ P(A\cdot B) =P(B)\cdot P(A|B). $$
$P(A|B)$ — условная вероятность события $A$ при условии, что произошло событие $B$,
$P(B|A)$ — условная вероятность события $B$ при условии, что произошло событие $A$.
Подробнее об условной вероятности.
5. Формула полной вероятности
$$ P(A)=\sum_{k=1}^{n} P(H_k)\cdot P(A|H_k), $$
6. Формула Байеса (Бейеса). Вычисление апостериорных вероятностей гипотез
$$ P(H_m|A) =\frac{P(H_m)\cdot P(A|H_m)}{P(A)} = \frac{P(H_m)\cdot P(A|H_m)}{\sum\limits_{k=1}^{n} P(H_k)\cdot P(A|H_k)}, $$
где $H_1, H_2, …, H_n$ — полная группа гипотез.
Примеры и теория на эту тему.
7. Формула Бернулли
$$ P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} $$ вероятность появления события ровно $k$ раз в $n$ независимых испытаниях, $p$ — вероятность появления события при одном испытании.
Еще полезное по формуле Бернулли теория и примеры, онлайн-калькуляторы.
8. Наивероятнейшее число наступления события
Наивероятнейшее число $k_0$ появления события при $n$ независимых испытаниях (где $p$ — вероятность появления события при одном испытании):
$$ np-(1-p) \le k_0 \le np+p. $$
Вычислить наивероятнейшее значение онлайн.
9. Локальная формула Лапласа
$$ P_n(k) = \frac{1}{\sqrt{npq}} \varphi\left(\frac{k-np}{\sqrt{npq}} \right) $$
вероятность появления события ровно $k$ раз при $n$ независимых испытаниях, $p$ — вероятность появления события при одном испытании, $q=1-p$.
Значения функции $\varphi(x)$ берутся из таблицы.
10. Интегральная формула Лапласа
$$ P_n(m_1, m_2) = \Phi\left(\frac{m_2-np}{\sqrt{npq}} \right)-\Phi\left(\frac{m_1-np}{\sqrt{npq}} \right) $$
вероятность появления события не менее $m_1$ и не более $m_2$ раз при $n$ независимых испытаниях, $p$ — вероятность появления события при одном испытании, $q=1-p$.
Значения функции $\Phi(x)$ берутся из таблицы.
Теория и примеры на формулы Муавра-Лапласа.
11. Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности $p$
$$ P\left(\left| \frac{m}{n} -p\right| \le \varepsilon\right) = 2 \Phi\left(\varepsilon\cdot \frac{n}{\sqrt{p(1-p)}} \right) $$
$\varepsilon$ — величина отклонения, $p$ — вероятность появления события.
Решенные задачи по теории вероятностей
Нужна готовая задача по терверу? Найдите на сайте-решебнике:
Каталог формул по теории вероятности онлайн
Полный список страниц с формулами:
Спасибо, что читаете и делитесь с другими
Фактически формулы (1) и (2) это краткая запись условной вероятности на основе таблицы сопряженности признаков. Вернемся к примеру, рассмотренному (рис. 1). Предположим, что нам стало известно, будто некая семья собирается купить широкоэкранный телевизор. Какова вероятность того, что эта семья действительно купит такой телевизор?
Рис. 1. Поведение покупателей широкоэкранных телевизоров
В данном случае нам необходимо вычислить условную вероятность Р (покупка совершена | покупка планировалась). Поскольку нам известно, что семья планирует покупку, выборочное пространство состоит не из всех 1000 семей, а только из тех, которые планируют покупку широкоэкранного телевизора. Из 250 таких семей 200 действительно купили этот телевизор. Следовательно, вероятность того, что семья действительно купит широкоэкранный телевизор, если она это запланировала, можно вычислить по следующей формуле:
Р (покупка совершена | покупка планировалась) = количество семей, планировавших и купивших широкоэкранный телевизор / количество семей, планировавших купить широкоэкранный телевизор = 200 / 250 = 0,8
Этот же результат дает формула (2):
где событие А заключается в том, что семья планирует покупку широкоформатного телевизора, а событие В - в том, что она его действительно купит. Подставляя в формулу реальные данные, получаем:
Дерево решений
На рис. 1 семьи разделены на четыре категории: планировавшие покупку широкоэкранного телевизора и не планировавшие, а также купившие такой телевизор и не купившие. Аналогичную классификацию можно выполнить с помощью дерева решений (рис. 2). Дерево, изображенное на рис. 2, имеет две ветви, соответствующие семьям, которые планировали приобрести широкоэкранный телевизор, и семьям, которые не делали этого. Каждая из этих ветвей разделяется на две дополнительные ветви, соответствующие семьям, купившим и не купившим широкоэкранный телевизор. Вероятности, записанные на концах двух основных ветвей, являются безусловными вероятностями событий А и А’ . Вероятности, записанные на концах четырех дополнительных ветвей, являются условными вероятностями каждой комбинации событий А и В . Условные вероятности вычисляются путем деления совместной вероятности событий на соответствующую безусловную вероятность каждого из них.
Рис. 2. Дерево решений
Например, чтобы вычислить вероятность того, что семья купит широкоэкранный телевизор, если она запланировала сделать это, следует определить вероятность события покупка запланирована и совершена , а затем поделить его на вероятность события покупка запланирована . Перемещаясь по дереву решения, изображенному на рис. 2, получаем следующий (аналогичный предыдущему) ответ:
Статистическая независимость
В примере с покупкой широкоэкранного телевизора вероятность того, что случайно выбранная семья приобрела широкоэкранный телевизор при условии, что она планировала это сделать, равна 200/250 = 0,8. Напомним, что безусловная вероятность того, что случайно выбранная семья приобрела широкоэкранный телевизор, равна 300/1000 = 0,3. Отсюда следует очень важный вывод. Априорная информация о том, что семья планировала покупку, влияет на вероятность самой покупки. Иначе говоря, эти два события зависят друг от друга. В противоположность этому примеру, существуют статистически независимые события, вероятности которых не зависят друг от друга. Статистическая независимость выражается тождеством: Р(А|В) = Р(А) , где Р(А|В) - вероятность события А при условии, что произошло событие В , Р(А) - безусловная вероятность события А.
Обратите внимание на то, что события А и В Р(А|В) = Р(А) . Если в таблице сопряженности признаков, имеющей размер 2×2, это условие выполняется хотя бы для одной комбинации событий А и В , оно будет справедливым и для любой другой комбинации. В нашем примере события покупка запланирована и покупка совершена не являются статистически независимыми, поскольку информация об одном событии влияет на вероятность другого.
Рассмотрим пример, в котором показано, как проверить статистическую независимость двух событий. Спросим у 300 семей, купивших широкоформатный телевизор, довольны ли они своей покупкой (рис. 3). Определите, связаны ли между собой степень удовлетворенности покупкой и тип телевизора.
Рис. 3. Данные, характеризующие степень удовлетворенности покупателей широкоэкранных телевизоров
Судя по этим данным,
В то же время,
Р (покупатель удовлетворен) = 240 / 300 = 0,80
Следовательно, вероятность того, что покупатель удовлетворен покупкой, и того, что семья купила HDTV-телевизор, равны между собой, и эти события являются статистически независимыми, поскольку никак не связаны между собой.
Правило умножения вероятностей
Формула для вычисления условной вероятности позволяет определить вероятность совместного события А и В . Разрешив формулу (1)
относительно совместной вероятности Р(А и В) , получаем общее, правило умножения вероятностей. Вероятность события А и В равна вероятности события А при условии, что наступило событие В В :
(3) Р(А и В) = Р(А|В) * Р(В)
Рассмотрим в качестве примера 80 семей, купивших широкоэкранный HDTV-телевизор (рис. 3). В таблице указано, что 64 семьи удовлетворены покупкой и 16 - нет. Предположим, что среди них случайным образом выбираются две семьи. Определите вероятность, что оба покупателя окажутся довольными. Используя формулу (3), получаем:
Р(А и В) = Р(А|В) * Р(В)
где событие А заключается в том, что вторая семья удовлетворена своей покупкой, а событие В - в том, что первая семья удовлетворена своей покупкой. Вероятность того, что первая семья удовлетворена своей покупкой, равна 64/80. Однако вероятность того, что вторая семья также удовлетворена своей покупкой, зависит от ответа первой семьи. Если первая семья после опроса не возвращается в выборку (выбор без возвращения), количество респондентов снижается до 79. Если первая семья оказалась удовлетворенной своей покупкой, вероятность того, что вторая семья также будет довольна, равна 63/79, поскольку в выборке осталось только 63 семьи, удовлетворенные своим приобретением. Таким образом, подставляя в формулу (3) конкретные данные, получим следующий ответ:
Р(А и В) = (63/79)(64/80) = 0,638.
Следовательно, вероятность того, что обе семьи довольны своими покупками, равна 63,8%.
Предположим, что после опроса первая семья возвращается в выборку. Определите вероятность того, что обе семьи окажутся довольными своей покупкой. В этом случае вероятности того, что обе семьи удовлетворены своей покупкой одинаковы, и равны 64/80. Следовательно, Р(А и В) = (64/80)(64/80) = 0,64. Таким образом, вероятность того, что обе семьи довольны своими покупками, равна 64,0%. Этот пример показывает, что выбор второй семьи не зависит от выбора первой. Таким образом, заменяя в формуле (3) условную вероятность Р(А|В) вероятностью Р(А) , мы получаем формулу умножения вероятностей независимых событий.
Правило умножения вероятностей независимых событий. Если события А и В являются статистически независимыми, вероятность события А и В равна вероятности события А , умноженной на вероятность события В .
(4) Р(А и В) = Р(А)Р(В)
Если это правило выполняется для событий А и В , значит, они являются статистически независимыми. Таким образом, существуют два способа определить статистическую независимость двух событий:
- События А и В являются статистически независимыми друг от друга тогда и только тогда, когда Р(А|В) = Р(А) .
- События А и B являются статистически независимыми друг от друга тогда и только тогда, когда Р(А и В) = Р(А)Р(В) .
Если в таблице сопряженности признаков, имеющей размер 2×2, одно из этих условий выполняется хотя бы для одной комбинации событий А и B , оно будет справедливым и для любой другой комбинации.
Безусловная вероятность элементарного события
(5) Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2) + … + P(A|B k)Р(B k)
где события B 1 , B 2 , … B k являются взаимоисключающими и исчерпывающими.
Проиллюстрируем применение этой формулы на примере рис.1. Используя формулу (5), получаем:
Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2)
где Р(А) - вероятность того, что покупка планировалась, Р(В 1) - вероятность того, что покупка совершена, Р(В 2) - вероятность того, что покупка не совершена.
ТЕОРЕМА БАЙЕСА
Условная вероятность события учитывает информацию о том, что произошло некое другое событие. Этот подход можно использовать как для уточнения вероятности с учетом вновь поступившей информации, так и для вычисления вероятности, что наблюдаемый эффект является следствием некоей конкретной причины. Процедура уточнения этих вероятностей называется теоремой Байеса. Впервые она была разработана Томасом Байесом в 18 веке.
Предположим, что компания, упомянутая выше, исследует рынок сбыта новой модели телевизора. В прошлом 40% телевизоров, созданных компанией, пользовались успехом, а 60% моделей признания не получили. Прежде чем объявить о выпуске новой модели, специалисты по маркетингу тщательно исследуют рынок и фиксируют спрос. В прошлом успех 80% моделей, получивших признание, прогнозировался заранее, в то же время 30% благоприятных прогнозов оказались неверными. Для новой модели отдел маркетинга дал благоприятный прогноз. Какова вероятность того, что новая модель телевизора будет пользоваться спросом?
Теорему Байеса можно вывести из определений условной вероятности (1) и (2). Чтобы вычислить вероятность Р(В|А), возьмем формулу (2):
и подставим вместо Р(А и В) значение из формулы (3):
Р(А и В) = Р(А|В) * Р(В)
Подставляя вместо Р(А) формулу (5), получаем теорему Байеса:
где события B 1 , В 2 , … В k являются взаимоисключающими и исчерпывающими.
Введем следующие обозначения: событие S - телевизор пользуется спросом , событие S’ - телевизор не пользуется спросом , событие F - благоприятный прогноз , событие F’ - неблагоприятный прогноз . Допустим, что P(S) = 0,4, P(S’) = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S’) = 0,3. Применяя теорему Байеса получаем:
Вероятность спроса на новую модель телевизора при условии благоприятного прогноза равна 0,64. Таким образом, вероятность отсутствия спроса при условии благоприятного прогноза равна 1–0,64=0,36. Процесс вычислений представлен на рис. 4.
Рис. 4. (а) Вычисления по формуле Байеса для оценки вероятности спроса телевизоров; (б) Дерево решения при исследовании спроса на новую модель телевизора
Рассмотрим пример применения теоремы Байеса для медицинской диагностики. Вероятность того, что человек страдает от определенного заболевания, равна 0,03. Медицинский тест позволяет проверить, так ли это. Если человек действительно болен, вероятность точного диагноза (утверждающего, что человек болен, когда он действительно болен) равна 0,9. Если человек здоров, вероятность ложноположительного диагноза (утверждающего, что человек болен, когда он здоров) равна 0,02. Допустим, что медицинский тест дал положительный результат. Какова вероятность того, что человек действительно болен? Какова вероятность точного диагноза?
Введем следующие обозначения: событие D - человек болен , событие D’ - человек здоров , событие Т - диагноз положительный , событие Т’ - диагноз отрицательный . Из условия задачи следует, что Р(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, Р(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Применяя формулу (6), получаем:
Вероятность того, что при положительном диагнозе человек действительно болен, равна 0,582 (см. также рис. 5). Обратите внимание на то, что знаменатель формулы Байеса равен вероятности положительного диагноза, т.е. 0,0464.
