Что такое грань параллелепипеда. Геометрические фигуры. Параллелепипед. Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Параллелепипедом называется четырехугольная призма, в основаниях которой лежат параллелограммы. Высотой параллелепипеда называют расстояние между плоскостями его основаниями. На рисунке высота показана отрезком . Различают два вида параллелепипедов: прямой и наклонный. Как правило, репетитор по математике сначала дает соответствующие определения для призмы, а затем переносит их на параллелепипед. Мы сделаем также.

Напомню, что призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям, если перпендикулярности нет – призму называют наклонной. Эту терминологию наследует и параллелепипед. Прямой параллелепипед – ни что иное, как разновидность прямой призмы, боковое ребро которой совпадает с высотой. Сохраняются определения таких понятий, как грань, ребро и вершина, являющиеся общими для всего семейства многогранников. Появляются понятие противоположные грани. У параллелепипеда 3 пары противоположных граней, 8 вершин ти 12 ребер.

Диагональ параллелепипеда (диагональ призмы) — отрезок, соединяющий две вершины многогранника и не лежащий ни в одной из его граней.

Диагональное сечение – сечение параллелепипеда, проходящее через его диагональ и диагональ его основания.

Свойства наклонного параллелепипеда :
1) Все его грани – параллелограммы, а противоположные грани — равные параллелограммы.
2) Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся в этой точки пополам.
3) Каждый параллелепипед состоит из шести равных по объему треугольных пирамид. Чтобы показать их ученику репетитор по математике должен отрезать от параллелепепеда половинку его диагональным сечением и разбить ее отдельно на 3 пирамиды. Их основания должны лежать в разных гранях исходного паралеллепипеда. Репетитор математики найдет применение этого свойства в аналитической геометрии. Оно используется для вывода объема пирамиды через смешанное произведение векторов.

Формулы объема параллелепипеда :
1) , где — площадь основания, h – высота.
2) Объем параллелепипеда равен произведению площади поперечного сечения на боковое ребро .
Репетитору по математике : Как известно, формула является общей для всех призм и если репетитор уже доказал ее, нет смысла повторять тоже самое для параллелепипеда. Однако в работе со учеником среднего уровня (слабому формула не пригодиться) преподавателю желательно действовать с точностью до наоборот. Призму оставить в покое, а для параллелепипеда провести аккуратное доказательство.
3) , где –объем одной из шести треугольных пирамиды из которых состоит параллелепипед.
4) Если , то

Площадью боковой поверхности параллелепипеда называется сумма площадей всех его граней:
Полная поверхность параллелепипеда – это сумма площадей всех его граней, то есть площадь + две площади основания: .

О работе репетитора с наклонным параллелепипедом :
Задачами на наклонный параллелепипед репетитор по математике занимается не часто. Вероятность их появления на ЕГЭ достаточно мала, а дидактика неприлично бедная. Более-менее приличная задача на объем наклонного параллелепипеда вызывает серьезные проблемы, связанные с пределением расположения точки Н — основания его высоты. В этом случае репетитору по математике можно посоветовать обрезать параллелепипед до одной из шести его пирамид (о которых идет речь в свойстве №3), попробовать найти ее объем и умножить его на 6.

Если боковое ребро параллелепипеда имеет равные углы со сторонами основания, то Н лежит на биссектрисе угла A основания ABCD. И если, например, ABCD — ромб, то

Задачи репетитора по математике :
1) Грани параллелепипеда равные роибы со стороной 2см и острым углом . Найти объем параллелепипеда.
2) В наклонном параллелепипеде боковое ребро равно 5см. Сечение, перпендикулярное ему, является четырехугольником со взаимно перпендикулярными диагоналями, имеющими длины 6см и 8 см. Вычислить объем паралеллепипеда.
3) В наклонном параллелепипеде известно, что , а в онованием ABCD является ромб со стороной 2см и уголом . Определите объем параллелепипеда.

Репетитор по математике, Александр Колпаков

Призма называется параллелепипедом , если её основания - параллелограммы. См.Рис.1 .

Свойства параллелепипеда:

Противоположные грани параллелепипеда параллельны (т.е. лежат в параллельных плоскостях) и равны.

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Смежные грани параллелепипеда – две грани, имеющие общее ребро.

Противоположные грани параллелепипеда – грани, не имеющих общих рёбер.

Противоположные вершины параллелепипеда – две вершины, не принадлежащие одной грани.

Диагональ параллелепипеда – отрезок, который соединяет противоположные вершины.

Если боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, то параллелепипед называется прямым .

Прямой параллелепипед, основания которого – прямоугольники, называется прямоугольным . Призма, все грани которой - квадраты, называется кубом .

Параллелепипед – призма, у которой основаниями служат параллелограммы.

Прямой параллелепипед – параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Прямоугольный параллелепипед – это прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники.

Куб – прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

Параллелепипедом называется призма, основание которой – параллелограмм; таким образом, параллелепипед имеет шесть граней и все они - параллелограммы.

Противоположные грани попарно равны и параллельны. Параллелепипед имеет четыре диагонали; все они пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. За основание может быть принята любая грань; объем равен произведению площади основания на высоту: V = Sh.

Параллелепипед, четыре боковые грани которого - прямоугольники, называется прямым.

Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней - прямоугольники, называется прямоугольным. См.Рис.2 .

Объем (V) прямого параллелепипеда равен произведению площади основания (S) на высоту (h): V = Sh .

Для прямоугольного параллелепипеда, кроме того, имеет место формула V=abc , где a,b,c - ребра.

Диагональ (d) прямоугольного параллелепипеда связана с его ребрами соотношением d 2 = а 2 + b 2 + c 2 .

Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а основания прямоугольниками.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники.

Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений (длин трёх рёбер, имеющих общую вершину).

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Прямоугольный параллелепипед, все грани которого - квадраты, называется кубом. Все ребра куба равны; объем (V) куба выражается формулой V=a 3 , где a - ребро куба.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

В переводе с греческого языка параллелограмм означает плоскость. Параллелепипед – это призма, в основании которой лежит параллелограмм. Существуют пять типов параллелограмма: наклонный, прямой и прямоугольный параллелепипед. Куб и ромбоэдр также относятся к параллелепипеду и являются его разновидностью.

Перед тем как перейти к основным понятиям, дадим некоторые определения:

• Диагональю параллелепипеда является отрезок, который объединяет вершины параллелепипеда, находящиеся напротив друг друга.
• Если две грани имеют общее ребро, то можно назвать их смежными ребрами. Если же общего ребра нет, то грани именуются противоположными.
• Две вершины, не лежащие на одной грани, именуются противоположными.

Какие свойства имеет параллелепипед?

1. Лежащие на противоположных сторонах грани параллелепипеда параллельны друг другу и равны между собой.
2. Если провести диагонали из одной вершины в другую, то точка пересечения этих диагоналей разделит их пополам.
3. Стороны параллелепипеда лежащие под одним и тем же углом к основанию будут равны. Другими словами, углы сонаправленных сторон будут равны между собой.

Какие виды параллелепипеда бывают?

Теперь разберёмся в том, какие параллелепипеды бывают. Как уже упомянуто выше, существует несколько типов этой фигуры: прямой, прямоугольный, наклонный параллелепипед, а также куб и ромбоэдр. Чем же они отличаются между собой? Все дело в образующих их плоскостях и углах, которые они образуют.

Разберемся более подробно с каждым из перечисленных видов параллелепипеда.

• Как уже понятно из названия, наклонный параллелепипед имеет наклонные грани, а именно такие грани, которые находятся по отношению к основанию не под углом 90 градусов.
• А вот у прямого параллелепипеда угол между основанием и гранью как раз составляет девяносто градусов. Именно по этой причине этот вид параллелепипеда имеет такое название.
• Если же все грани параллелепипеда – это одинаковые квадраты, то можно считать эту фигуру кубом.
• Прямоугольный параллелепипед получил такое название из-за образующих его плоскостей. Если все они являются прямоугольниками (и основание в том числе), то это прямоугольный параллелепипед. Такой вид параллелепипеда встречается не так часто. В переводе с греческого ромбоэдр означает грань или основание. Так называют трехмерную фигуру, у которой гранями являются ромбы.

Основные формулы для параллелепипеда

Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на его высоту, перпендикулярную основанию.

Площадь боковой поверхности будет равна произведению периметра основания на высоту.
Зная основные определения и формулы можно вычислить площадь основания и объём. Основание можно выбрать по своему усмотрению. Однако, как правило, в качестве основания используется прямоугольник.