Определение прогиба балки по моменту. Архив рубрики: Задачи на определение перемещений. Растяжения и чистого косого изгиба

Определение перемещений в балках аналитическим способом

Пример 1

Условие задачи

Для балки, показанной на рис. 4.20, а , требуется найти прогиб в сечении С , угол поворота в сечении В аналитическим способом и проверить условие жесткости, если допускаемый прогиб равен l /100. Балка выполнена из дерева и имеет поперечное сечение из трех бревен радиусом 12 см. (Подбор сечения этой балки см. в разд. 4.1.2, пример 1.)

Решение

Для определения перемещений балки аналитическим способом составим дифференциальное уравнение изогнутой оси (4.16), используя правила Клебша записи выражения для изгибающего момента. Начало координат в рассматриваемой задаче рациональнее выбрать справа (в заделке). Распределенную нагрузку , которая не доходит до левого конца балки, продлим до сечения С (рис. 4.20, в ). Выражение для изгибающего момента будет иметь такой вид:

Подставим это выражение в дифференциальное уравнение (4.16) и проинтегрируем его два раза:

;

Для определения постоянных С и D запишем граничные условия: в заделке (в сечении А , где находится начало координат) угол поворота и прогиб балки равны нулю, то есть

И .

Подставляя эти условия в выражения для угла поворота и прогиба на первом участке, найдем, что

Теперь можно определить заданные перемещения. Для определения угла поворота в сечении В подставим в выражение для угла поворота на первом участке (только до черты с номером I) значение :

В соответствии с правилом знаков отрицательный знак угла поворота для выбранного начала координат х справа означает, что поворот сечения происходит по часовой стрелке.

В сечении С , где требуется найти прогиб, координата х равна , и это сечение находится на третьем участке балки, поэтому подставляем х = 4 м в выражение для прогибов, используя слагаемые на всех трех участках:

кН·м 3 .

Знак минус у найденного прогиба показывает, что сечение С перемещается вверх. Покажем найденные перемещения на изогнутой оси балки. Чтобы нарисовать ось балки после деформации, построим эпюру изгибающих моментов (рис. 4.20, б ). Положительный знак эпюры М на участке показывает, что балка на этом участке изгибается выпуклостью вниз, при отрицательном знаке М изогнутая ось имеет выпуклость вверх. Кроме того, деформированная ось балки должна удовлетворять условиям закрепления: в нашем случае на правом конце балка имеет жесткое защемление, и, как уже отмечалось при записи граничных условий, прогиб и угол поворота в защемлении должны равняться нулю. На рис. 4.20, г изображена ось рассматриваемой балки после деформации, удовлетворяющая этим условиям. На изогнутой оси показаны найденные прогиб в сечении С и угол поворота сечения В с учетом их знаков.

В заключение сосчитаем прогиб балки в сантиметрах, угол поворота в радианах и проверим условие жесткости. Найдем жесткость ЕI рассматриваемой деревянной балки из трех бревен радиусом 12 см. Момент инерции поперечного сечения

см 4 .

Модуль упругости дерева Е = 10 4 МПа = 10 3 кН / см 2 . Тогда

Прогиб балки в сечении С

см,

а угол поворота сечения В

рад.

Очевидно (см. рис. 4.20, г ), что найденный прогиб балки в сечении С является максимальным, поэтому для проверки условия жесткости сравним его с допускаемым прогибом. Для балки длиной м допускаемый прогиб согласно условию см. Таким образом, максимальный прогиб см меньше допускаемого, и условие жесткости выполняется.

Пример 2

Условие задачи

В балке с двумя консолями, показанной на рис. 4.21, а надо найти угол поворота сечения А и прогиб сечения D , используя аналитический способ. Сечение балки – двутавр № 24.

Решение

Выберем начало отсчета координаты х на левом конце балки в точке А и запишем выражение для изгибающего момента на всех участках с учетом правил Клебша:

Подставим это выражение в дифференциальное уравнение изогнутой оси (4.16) и проинтегрируем его дважды:

Найдем произвольные постоянные С и D из граничных условий. В точках В и С , где находятся опоры, прогибы не возможны. Поэтому

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными С и D . Решая эту систему, найдем С = 40 кН·м 2 , D = – 40 кН·м 3 . Проанализируем результат, используя геометрический смысл произвольных постоянных С и D . На рис. 4.21, в показана изогнутая ось балки, соответствующая эпюре изгибающих моментов и условиям закрепления. Точка А , находящаяся в начале координат, перемещается вверх, и поэтому следует ожидать, что будет иметь в соответствии с правилом знаков отрицательный знак. Сечение в точке А поворачивается по часовой стрелке, поэтому постоянная должна быть положительна. Полученные знаки С и D не противоречат проведенному анализу.

В общем случае (стержень переменного сечения, сложная система нагрузок) интеграл Мора определяется путем численного интегрирования. Во многих практически важных случаях, когда жесткость сечения постоянна по длине стержня, интеграл Мора может быть вычислен по правилу Верещагина. Рассмотрим определение интеграла Мора на участке от а до 6 (рис. 9.18).

Рис. 9.18. Правило Верещагина для вычисления интеграла Мора

Эпюры момента от единичного силового фактора состоят из отрезков прямых. Не нарушая общности, предположим, что в пределах участка

где А и В - параметры прямой:

Интеграл Мора на рассматриваемом участке постоянного сечения имеет вид

где F - площадь под кривой (площадь эпюры изгибающих моментов от внешних сил на участке z).

где - абсцисса центра тяжести площади .

Равенство (109) справедливо, когда в пределах участка не изменяет знак и может рассматриваться как элемент площади эпюры. Теперь из соотношений (107) -(109) получаем

Момент от единичной нагрузки в сечении

Вспомогательная таблица для использования правила Верещагина дана на рис. 9.19.

Замечания. 1. Если эпюра от действия внешних сил на участке линейна (например, при действии сосредоточенных сил и моментов), то правило можно применять в обращенном виде: площадь эпюры от единичного силового фактора умножить на ординату эпюры соответствующую центру тяжести площади . Это вытекает из приведенного доказательства.

2. Правило Верещагина может быть распространено на интеграл Мора в общем виде (уравнение (103)).

Рис. 9.19. Площади и положение центров тяжести эпюр моментов

Рис. 9.20. Примеры определения прогиба и углов поворота по правилу Верещагина

Основное требование при этом состоит в следующем: в пределах участка внутренние силовые факторы от единичной нагрузки должны быть линейными функциями вдоль оси стержня (линейность эпюр!).

Примеры. 1. Определить прогиб в точке А консольного стержня при действии сосредоточенного момента М (рис. 9.20, а).

Прогиб в точке А определяем по формуле (для краткости индекс опускается)

Знак минус связан с тем, что имеют разные знаки.

2. Определить прогиб в точке А в консольном стержне под действием распределенной нагрузки.

Прогиб определяем по формуле

Эпюры изгибающего момента М и перерезывающей силы Q от внешней нагрузки показаны на рис. 9.20, б, ниже на этом рисунке приведены эпюры при действии единичной силы. Далее находим

3. Определить прогиб в точке А и угол поворота в точке В для двухопорной балки, загруженной сосредоточенным моментом (рис. 9.20.).

Прогиб определяем по формуле (деформацией сдвига пренебрегаем)

Так как эпюра момента от единичной силы не изображается одной линией; то интеграл разбиваем на два участка:

Угол поворота в точке В равен

Замечание. Из приведенных примеров видно, что способ Верещагина в простых случаях позволяет быстро определить прогибы и углы поворота. Важно только применять единое правило знаков для Если условиться при изгибе стержня строить эпюры изгибающих моментов на «растянутом волокне» (см. рис. 9.20), то сразу легко видеть положительные и отрицательные значения моментов.

Особое преимущество правила Верещагина состоит в том, что оно может быть исполъвовано не только для стержней, но и для рам (разд. 17).

Ограничения для применения правила Верещагина.

Эти ограничения вытекают из вывода формулы (110), но обратим на них внимание еще раз.

1. Эпюра изгибающего момента от единичной нагрузки должна быть в виде одной прямой линии. На рис. 9.21, а показан случай, когда это условие не соблюдается. Интеграл Мора необходимо вычислять отдельно для участков I и II.

2. Изгибающий момент от внешней нагрузки в пределах участка должен иметь один знак. На рис. 9.21, б показан случай, когда правило Верещагина следует применять для каждого участка в отдельности. Это ограничение не относится к моменту от единичной нагрузки.

Рис. 9.21. Ограничения при использовании правила Верещагина: а - эпюра шсеет излом; б - эпюра имеет разные знаки; в - стержень имеет разные сечения

3. Жесткость стержня в пределах участка должна быть постоянна, иначе интегрирование следует распространять отдельно на участки с постоянной жесткостью. Ограничения по постоянной жесткости можно избежать, если строить эпюры .

Гипотезы при изгибе. Нейтральный слой, радиус кривизны, кривизна, распределение деформаций и нормальных напряжении по высоте поперечного сечения стержня. Касательные напряжения при плоском поперечном изгибе стержней. Расчет балок на прочность при изгибе. Перемещения при изгибе.

Нормальные напряжения при чистом прямом изгибе. Так как нормальные напряжения зависят только от изгибающих моментов, то вывод формулы для вычисления можно производить применительно к чистому изгибу. Отметим, что методами теории упругости можно получить точную зависимость для нормальных напряжений при чистом изгибе, если же решать эту задачу методами сопротивления материалов, необходимо ввести некоторые допущения.

Таких гипотез при изгибе три:

1) гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) - сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации, а лишь поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной осью сечения балки. При этом волокна балки, лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой - сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;

2) гипотеза о постоянстве нормальных напряжений - напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

3) гипотеза об отсутствии боковых давлений - соседние продольные волокна не давят друг на друга.

Рис. 28. Гипотеза Бернулли

Статическая задача о плоском изгибе . Изгибающий момент в сечении представляет собой сумму моментов всех элементарных внутренних нормальных сил σ.dA, возникающих на элементарных площадках поперечного сечения балки (рис. 29), относительно нейтральной оси: .

Данное выражение представляет собой статическую сторону задачи о плоском изгибе. Но его нельзя использовать для определения нормальных напряжений, так как неизвестен закон распределения напряжений по сечению.

Рис. 29. Статическая сторона задачи

Геометрическая сторона задачи о плоском изгибе . Выделим двумя поперечными сечениями элемент балки длиной dz. Под нагрузкой нейтральная ось искривляется (радиус кривизны ρ), а сечения поворачиваются относительно своих нейтральных линий на угол dθ. Длина отрезка волокон нейтрального слоя при этом остается неизменной (рис. 30, б):

Рис. 30. Геометрическая сторона задачи:
а - элемент балки; б - искривление нейтральной оси; в - эпюра σ.dA; г - эпюра ε

Определим длину отрезка волокон, отстоящего от нейтрального слоя на расстоянии y

dz 1 = (ρ + y)dθ .

Относительное удлинение в этом случае будет

Зависимость отражает геометрическую сторону задачи о плоском изгибе, из которой видно, что деформации продольных волокон изменяются по высоте сечения по линейному закону.

Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем.

Линия, по которой поперечное сечение балки пересекается с нейтральным слоем балки, называется нейтральной линией сечения.

Физическая сторона задачи о плоском изгибе. Используя закон Гука при осевом растяжении, получаем

Подставив в выражение, отражающее статическую сторону задачи о плоском изгибе, значение σ, получаем

Подставив значение в исходную формулу, получаем

(13)

Данное выражение отражает физическую сторону задачи о плоском изгибе, которое дает возможность рассчитать нормальные напряжения по высоте сечения.

Хотя это выражение получено для случая чистого изгиба, но как показывают теоретические и экспериментальные исследования, оно может быть использовано и для плоского поперечного изгиба.

Нейтральная линия. Положение нейтральной линии определим из условия равенства нулю нормальной силы в сечениях балки при чистом изгибе

Так как M x ≠ 0 и I x ≠ 0, то необходимо, чтобы нулю был равен интеграл . Данный интеграл представляет собой статический момент сечения относительно нейтральной оси. Так как статический момент сечения равен нулю только относительно центральной оси, следовательно, нейтральная линия при плоском изгибе совпадает с главной центральной осью инерции сечения.

Касательные напряжения . Касательные напряжения, которые возникают в сечениях балки при плоском поперечном изгибе, определяются по зависимости:

(14)

где Q - поперечная сила в рассматриваемом сечении балки; S xo - статический момент площади отсеченной части сечения относительно нейтральной оси балки; b - ширина сечения в рассматриваемом слое; Ix -момент инерции сечения относительно нейтральной оси.

Касательные напряжения равны нулю в крайних волокнах сечения и максимальны в волокнах нейтрального слоя.

Расчет балок на прочность при изгибе. Прочность балки будет обеспечена, если будут выполняться условия:

(15)

Максимальные нормальные напряжения при изгибе возникают в сечениях, где действует максимальный изгибающий момент, в точках сечения наиболее удаленных от нейтральной оси

Максимальные касательные напряжения возникают в сечениях балки, где действует максимальная поперечная сила

Касательные напряжения τmax обычно малы по сравнению с σmax и в расчетах, как правило, не учитываются. Проверка по касательным напряжениям производится только для коротких балок.

Перемещения при изгибе . Под расчетом на жесткость понимают оценку упругой податливости балки под действием приложенных нагрузок и подбор таких размеров поперечного сечения, при которых перемещения не будут превышать установленных нормами пределов.

Условие жесткости при изгибе

Перемещение центра тяжести сечения по направлению перпендикулярному к оси балки, называется прогибом. Прогиб обозначается буквой W.

Наибольший прогиб в пролете или на консоли балки, называется стрелой прогиба и обозначается буквой ƒ.

Угол q , на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению и есть угол поворота.

Угол поворота считается положительным, при повороте сечения против хода часовой стрелки

Угол поворота сечения равен значению производной от прогиба по координате Z в этом же сечении, то есть:

Уравнение упругой линии балки

(16)

Существуют три метода решения дифференциального уравнения упругой линии балки. Это метод непосредственного интегрирования, метод Клебша и метод начальных параметров.

Метод непосредственного интегрирования . Проинтегрировав уравнение упругой линии балки первый раз, получают выражение для определения углов поворота:

Интегрируя второй раз, находят выражения для определения прогибов:

Значения постоянных интегрирования С и D определяют из начальных условий на опорах балки

Метод Клебша . Для составления уравнений необходимовыполнить следующие основные условия:

начало координат, для всех участков, необходимо расположить в крайнем левом конце балки;
интегрирование дифференциального уравнения упругой линии балки проводить, не раскрывая скобок;
при включении в уравнение внешнего сосредоточенного момента М его необходимо помножить на (Z - a), где а - координата сечения, в котором приложен момент;
в случае обрыва распределенной нагрузки ее продлевают до конца балки, а для восстановления действительных условий нагружения вводят «компенсирующую» нагрузку обратного направления

Метод начальных параметров

Для углов поворота

(17)

Для прогибов:

(18)

где θ - угол поворота сечения; w - прогиб; θo - угол поворота в начале координат; w0 - прогиб в начале координат; dі - расстояние от начало координат до i-й опоры балки; ai - расстояние от начало координат до точки приложения сосредоточенного момента Mi; bi - расстояние от начало координат до точки приложения сосредоточенной силы Fi; сi - расстояние от начало координат до начала участка распределенной нагрузки qi; Ri и Мрi - реакция и реактивный момент в опорах балки.

Определение стрелы прогибов для простых случаев

Рис. 31. Примеры нагрузок балок

Вычисление перемещений методом Мора

Если не требуется знание уравнения изогнутой линии бруса, а необходимо определить только линейные или угловые перемещения отдельного сечения, удобнее всего воспользоваться методом Мора.Для балок и плоских рам интеграл Мора имеет вид:

где δ - искомое перемещение (линейное или угловое); М p , М i - аналитические выражения изгибающих моментов соответственно от заданной и единичной cилы; EJ x - жесткость сечения балки в плоскости изгиба. При определении перемещений нужно рассматривать два состояния системы: 1 - действительное состояние, с приложенной внешней нагрузкой; 2 - вспомогательное состояние, в котором балка освобождается от внешней нагрузки, а к сечению, перемещение которого определяется, прикладывается единичная сила, если определяется линейное перемещение, или единичный момент, если определяется угловое перемещение (рис. 32).

Рис. 32. Определение перемещений:
а - действительное состояние; б, в - вспомогательные состояния

Формулу Мора можно получить, например. используя принцип возможных перемещений.

Рис. 33. Схема рамы:
а - под воздействием силы; б - внутренние усилия

Рассмотрим схему (рис. 33а), когда в точке А в направлении искомого перемещения ΔA приложена единичная сила , вызывающая в поперечном сечении системы внутренние силовые факторы (рис. 33, б). В соответствии с принципом возможных перемещений работа этих внутренних силовых факторов на любых возможных перемещениях должна равняться работе единичной силы на возможном перемещении δΔA:

Выбираем возможные перемещения пропорциональными действительным:

И после подстановки получим:

При учете, что

приходим к формуле Мора

(19)

которая служит для определения любых обобщённых перемещений в стержневых системах.

В случае, когда брус работает только на изгиб (Mx ≠ 0, Nz = Mz = My = Qx = Qy = 0), выражение (1) принимает вид:

(20)

Правило Верещагина позволяет заменить непосредственное интегрирование в формулах Мора так называемым перемножением эпюр. Способ вычисления интеграла Мора путем замены непосредственного интегрирования перемножением соответствующих эпюр называется способом (или правилом) Верещагина, заключающемся в следующем: чтобы перемножить две эпюры, из которых хотя бы одна является прямолинейной, нужно площадь одной эпюры умножить на ординату другой эпюры, расположенную под центром тяжести первой (ординаты используются только с прямолинейных эпюр). Эпюры сложного очертания могут быть разбиты на ряд простейших: прямоугольник, треугольник, квадратичную параболу и т.п. (рис. 34).

Рис. 34. Простейшие эпюры

Справедливость правила Верещагина .

Рис. 35. Схема перемножения эпюр:
а - произвольная эпюра; б - прямолинейная

Приведены две эпюры изгибающих моментов, из которых одна Мk имеет произвольное очертание, а другая Мi прямолинейна (рис. 35). Сечение стержня считаем постоянным. В этом случае

Величина Mkdz представляет собой элементарную площадь dω эпюры Мk (заштрихована). Получаем

Но Mi = ztg α, поэтому,

Выражение представляет собой статический момент площади эпюры Мk относительно оси у, проходящей через точку О, равный ωkΖc, где ωk - площадь эпюры моментов; Ζс - расстояние от оси у до центра тяжести эпюры М k . Из рисунка очевидно:

Ζ c = М i /tg α,

где Мi - ордината эпюры Mi, расположенная под центром тяжести эпюры Мk (под точкой С).

(21)

Формула (21) представляет правило вычисления интеграла Мора: интеграл равен произведению площади криволинейной эпюры на ординату, взятую с прямолинейной эпюры и расположенную под центром тяжести криволинейной эпюры.

Встречающиеся на практике криволинейные эпюры могут быть разбиты на ряд простейших: прямоугольник, треугольник, симметричную квадратичную параболу и т.п.

При помощи разбивания эпюр на части можно добиться того, что при перемножении все эпюры были бы простой структуры.

Пример вычисления перемещений . Требуется определить прогиб в середине пролета и угол поворота левого опорного сечения балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 36, а), способом Мора-Верещагина.

Рассмотрим 3 состояния балки: грузовое состояние (при действии распределенной нагрузки q;) ему соответствует эпюра Mq (рис. 36, б), и два единичных: при действии силы , приложенной в точке С (эпюра , рис. 36, в), и момента , приложенного в точке В (эпюра , рис. 36, г).

Прогиб балки в середине пролета:

Обратим внимание, что перемножение эпюр выполняется для половины балки, а затем из-за симметрии) полученный результат удваивается. При вычислении угла поворота сечения в точке В площадь эпюры Mq умножается на расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры (1/2, рис. 9, г), т.к. эпюра изменяется по прямой линии:

Рис. 36. Пример расчета:
а - заданная схема балки; б - грузовая эпюра моментов;
в - единичная эпюра от единичной силы; г - от единичного момента

После определения начального угла поворота вычисляется прогиб сечения А.

, показанная на рис.2.3 пунктиром, вводится в тех случаях, когда прогиб определяется в сечении, которое находится за пределами участка действия распределенной нагрузки.

Угол поворота сечения В вычисляется по формуле (2.20), в которой следует принять

2.2.2. Интеграл Мора.

Универсальная формула Мора вычисления упругих перемещений в стержневых системах является естественным обобщением формулы Кастильяно. Для линейно упругих стержневых систем формула Кастильяно имеет вид

Δ К -обобщенное перемещение сечения К,

Р К –обобщенная сила, соответствующая обобщенному перемещению Δ К,

U –функция потенциальной энергии.

Потенциальная энергия является квадратичной функцией усилий и для изгибаемых элементов записывается в виде

(2.22)

В подавляющем большинстве случаев влиянием поперечной силы на величину потенциальной энергии пренебрегают. Комбинирование формул (2.21) и (2.22) дает

(2.23)

Частная производная соответствует функции изгибающего момента , вызванного действием единичной обобщенной силы ,приложенной в сечении К по направлению искомого перемещения. Формула (2.23), записанная в виде

(2.24)

определяет частный вид универсальной формулы Мора применительно к определению перемещений в изгибаемых элементах.

На практике используется графоаналитический прием вычисления интеграла Мора (прием Верещагина).

‑ площадь грузовой эпюры (эпюра изгибающего момента от действия заданной нагрузки);

‑ ордината единичной эпюры (эпюра изгибающего момента от действия единичной обобщенной силы), измеренная под центром грузовой эпюры.

Вычисление интеграла Мора по формуле Верещагина в учебной литературе называется "перемножением" эпюр.

В ряде случаев при вычислении интеграла Мора удобно пользоваться формулой Симпсона

(2.26)

где индексы "н", "с", "к" ‑ обозначают соответственно начало, середину и конец участка перемножаемых эпюр.

Пример 2. Определить прогиб сечения А и угол поворота сечения В балки, рассмотренной в примере 1 (рис.2.4.а).

Вычисление интеграла Мора произвести по формуле Симпсона.

Для определения прогиба сечения А строится грузовая М р (рис.2.4.б) и единичная (рис.2.4.в) эпюры изгибающих моментов.

Перемножение грузовой и единичной эпюр изгибающих моментов по формуле Симпсона дает

Для определения угла поворота опорного сечения В строится вторая единичная эпюра изгибающего момента от действия единичного момента, приложенного в сечении В балки (рис.2.4.г).

Величина угла поворота определяется перемножением грузовой и единичной (рис.2.4.г) эпюр изгибающих моментов.

Примечание. Знак минус в ответах означает, что направления действительных перемещений сечений А и В будут противоположными направлениям перемещений, соответствующих единичным обобщенным силам.

2.3. Статически неопределимые балки
(Метод сил раскрытия статической неопределимости)

Статически неопределимые балки содержат "лишние" связи (при удалении лишних связей балки становятся статически определимыми). Число лишних связей определяет степень статической неопределимости задачи.

Статически определимая геометрически неизменяемая балка, полученная из заданной статически неопределимой путем удаления лишних связей, называется основной системой метода сил.

Алгоритм решения статически неопределимых балок методом сил рассмотрен на примере один раз статически неопределимой балки (рис. 2.5.а).

Решение задачи начинается с выбора основной системы метода сил (рис. 2.5.б). Следует отметить, что это не единственный вариант выбора основной системы (в частности, возможен вариант удаления внутренних связей путем постановки шарнира).

Суть метода сил заключается в отрицании перемещений по направлению удаленной связи. Математически это условие записывается в виде уравнения совместности перемещений

, (2.27)

δ 11 – перемещение по направлению отброшенной связи, вызванное действием единичного значения неизвестной реакции удаленной связи (рис. 2.5.в)

Δ 1Р – перемещение по направлению отброшенной связи, вызванное действием заданной нагрузки (рис. 2.5.г)

Вычисление перемещений δ 11 , Δ 1Р производится по формуле Симпсона.

Коэффициент δ 11 канонического уравнения метода сил определяется перемножением единичной эпюры (рис. 2.5.е) самой на себя

Коэффициент Δ 1Р канонического уравнения метода сил вычисляется перемножением единичной (рис. 2.5.е) и грузовой (рис. 2.5.д ) эпюр

Из решения уравнения (2.27) определяется реакция X 1 лишней связи

Этот этап решения соответствует раскрытию статической неопределимости задачи.

Эпюра изгибающего момента М x (рис. 2.5.з) в статически неопределимой балке строится по формуле

(2.28)

На рис. 2.5.ж представлена "исправленная" единичная эпюра, все ординаты которой увеличены в X 1 раз.

Рассмотренный алгоритм решения статически неопределимых задач с помощью метода сил пригоден и для решения статически неопределимых задач при кручении, при осевом действии нагрузок, а также при сложной деформации стержня.

2.4. Устойчивость сжатых стержней

Для полного представления о работе сооружения наряду с расчетами на прочность и жесткость необходимы расчеты на устойчивость сжатых и сжато-изогнутых элементов.

Инженерные объекты кроме расчетных нагрузок могут подвергаться дополнительным, не предусмотренным в расчете, малым возмущениям, способным вызвать в элементах объекта непроектную деформацию (искривление оси сжатых элементов, пространственный изгиб плоско изогнутого элемента). Результат такого дополнительного воздействия зависит от интенсивности нагрузок, действующих на элемент конструкции. Для каждого элемента существует некоторое критическое значение нагрузки, при превышении которого малое случайное возмущение вызывает необратимую непроектную деформацию. Такое состояние объекта является опасным.

Балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой . Жесткость поперечного сечения балки на изгиб постоянна и равна . Прогиб в середине пролета балки длиной равен….

Консольная балка на участке АВ нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q. Жесткость поперечного сечения на изгиб по всей длине постоянна. Угол поворота сечения B , по абсолютной величине равен.…

Построим эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки (). Затем построим эпюру от единичного момента (), приложенного в сечении В . Определим угол поворота сечения В. Для этого перемножим эпюры от заданной нагрузки и единичного момента. На левом участке результат перемножения равен нулю. На правом участке обе эпюры линейные. Если взять площадь с единичной эпюры, получим: . Знак «минус» показывает, что сечение В поворачивается в направлении, противоположном направлению единичного момента. При перемножении эпюр можно взять площадь грузовой эпюры, а ординату с единичной (как показано на рисунке).

Задание 25

При данном варианте нагружения в стержне прямоугольного (не квадратного) поперечного сечения имеет место комбинация…..

При внецентренном растяжении (сжатии) стержня в поперечном сечении возникают….

Продольная сила и изгибающий момент

В произвольном прямоугольном поперечном сечении стержня действуют внутренние силовые факторы: N – продольная сила; и − изгибающие моменты. Следовательно, имеет место комбинация.…

Растяжения и чистого косого изгиба

Изгибающие моменты можно геометрически сложить. Плоскость действия суммарного изгибающего момента не будет совпадать ни с одной из главных центральных плоскостей стержня. Поэтому имеет место комбинация растяжения и чистого косого изгиба.

На рисунке представлена схема нагружения стержня круглого сечения. В любом произвольном сечении стержня на участке II имеет место комбинация …

Плоского поперечного изгиба с кручением и растяжением

Рассекаем стержень на втором участке поперечным сечением и отбрасываем левую часть.

Из условий равновесия оставшейся части находим

Для круглого сечения () косой изгиб можно свести к плоскому изгибу, если геометрически сложить изгибающие моменты и , поперечные силы и Следовательно, на втором участке имеем плоский поперечный изгиб с кручением и растяжением.

Видами деформаций участков стержня являются …

I – изгиб с кручением, II – плоский изгиб

На рисунках изображены отсеченные части стержня. Поперечные силы условно не показаны. поэтому косой изгиб на участке II можно свести к плоскому изгибу моментом . На участке I сила вызывает деформацию – плоский изгиб с кручением. На участке II – плоский изгиб.

Задание 26

При данном нагружении стержня (сила лежит в плоскости ) максимальное нормальное напряжение возникает в точке….

Стержень прямоугольного сечения с размерами нагружен, как показано на схеме. Сила , размеры заданы. Сила лежит в плоскости . Значение нормального напряжения в точке равно….

(т.к.

После подстановки )

Максимальное нормальное растягивающее напряжение в стержне прямоугольного сечения с размерами и равно . Длина стержня l задана. Значение силы F равно.…

Максимальное нормальное растягивающее напряжение возникает в точке В , расположенной в сечении, бесконечно близком к заделке.

Учитывая, что в данном сечении и в точке В они вызывают растяжение, получим Следовательно, значение силы

Представлены эпюры распределения нормальных напряжений в поперечном сечении стержня. Косому изгибу при заданном нагружении стержня соответствует эпюра …

Из физического представления о процессе изгиба ясно, что верхние слои стержня будут растягиваться, а нижние – сжиматься. Кроме того, при косом изгибе нейтральная линия проходит через центр тяжести поперечного сечения. Поэтому верным является 3 вариант.

Задание 27

Прочность колоны при удалении точки приложения сжимающей силы от центра тяжести сечения…….

Уменьшается

Линия действия сжимающей силы проходит через точку К контура ядра сечения. Нейтральная линия занимает положение……

(т.к. )

Стержень работает на внецентренное сжатие. В опасных точках поперечного сечения имеем ______________ напряженное состояние.

Линейное

При внецентренном сжатии в поперечном сечении стержня возникают два внутренних силовых фактора: продольная сила и изгибающий момент. Поэтому, напряжения в любой точке поперечного сечения будут складываться из нормальных напряжений осевого сжатия и нормальных напряжений от чистого, в общем случае косого, изгиба. Следовательно, в опасных точках сечения имеем линейное напряженное состояние.

Задание 28

Схема нагружения стержня круглого поперечного сечения показана на рисунке. Опасной будет точка……

Стержень круглого сечения диаметром , высотой нагружен двумя силами, лежащими в плоскости . Значение эквивалентного напряжения в точке , по теории больших касательных напряжений, равно……(Касательные напряжения от поперечной силы в расчетах не учитывать)

Стержень круглого сечения диаметром изготовлен из пластичного материала. Значение силы . Эквивалентное напряжение в опасной точке стержня, по теории наибольших касательных напряжений, равно.…

52 МПа

Опасное сечение при данном нагружении стержня будет у заделки. Влиянием поперечных сил пренебрегаем. Значения избегающих моментов и крутящего момента в опасном сечении показаны на рисунке.

Используя теорию наибольших касательных напряжений, найдем эквивалентное напряжение в опасной точке: или После подстановки заданных значений и получим

Стержень работает на деформации изгиб и кручение. Напряженное состояние, которое возникает в опасной точке поперечного сечения круглого стержня, называется …

Плоским

Если элементарный объем поворачивать вокруг нормали к внешней цилиндрической поверхности, то можно отыскать такое его положение, при котором касательные напряжения на его гранях будут равны нулю, а нормальные напряжения (главные напряжения) нулю равняться не будут. Так как нормальное напряжение по верхней грани (одно из главных напряжений) равно нулю, то напряженное состояние является плоским.

Ломаный стержень круглого сечения диаметром d нагружен силой F . Длины участков одинаковы и равны Значение максимального эквивалентного напряжения в стержне, по теории наибольших касательных напряжений, равно …

Опасное сечение в стержне расположено бесконечно близко к заделке. В данном сечении действуют изгибающий момент и крутящий момент На основании теории наибольших касательных напряжений эквивалентное напряжение в опасной точке круглого сечения определяется по формуле где Следовательно,

Стержень прямоугольного сечения испытывает деформации изгиба в двух плоскостях и кручение. Напряженное состояние, которое возникает в опасных точках, будет …

Линейным и плоским

При оценке напряженного состояния в опасных точках прямоугольного сечения, когда оно работает на деформации изгиба в двух плоскостях и кручение, проверяют три точки: угловую, в середине длинной и в середине короткой сторон. В угловой точке возникают только нормальные напряжения. Следовательно, напряженное состояние будет линейным. В точках, расположенных в середине длинной и короткой сторон, наряду с нормальными напряжениями. появляются касательные. Поэтому в этих точках напряженное состояние будет плоским.

Задание 29